Elemento infinitesimo di superficie

[Dr.Hermann]

Ciao a tutti!!

Ho una difficoltà a impostare il $d\sigma $ del mio integrale. Ora vi enuncio il problema:

Calcolare l'integrale di superficie:

$ \int_{\Sigma} (x^2 + y ^2)/z^3 d\sigma \ \ $ dove $ \Sigma : {(x,y,z)=(sin(uv),cos(uv),u): (1/2)\leq u \leq v, \ \v\in [0,1]} $

Sviluppando otterrei:

$ \int_{\Sigma} (x^2 + y ^2)/z^3 d\sigma \ \ = \int_{1/2}^{1} \int_{1/2}^{v} 1/(u^3) dvdu $

(Mancante però dell'elemento di sup.)

Ma non so come impostare il $ d\sigma $.
So che per definizione è: $\ \sqrt(1+||g(x,y)||^2) $, ma non capisco come ottenerlo in queste cordinate. Dovrebbe venire se non erro, u.
Potete aiutarmi cortesemente?
Grazie!!

[Studente Anonimo]

Dovresti procedere così:

$vec(t_u)=(delx)/(delu)veci+(dely)/(delu)vecj+(delz)/(delu)veck=vcos(uv)veci-vsin(uv)vecj+veck$

$vec(t_v)=(delx)/(delv)veci+(dely)/(delv)vecj+(delz)/(delv)veck=ucos(uv)veci-usin(uv)vecj$

$vec(t_u) xx vec(t_v)=((veci,vecj,veck),(vcos(uv),-vsin(uv),1),(ucos(uv),-usin(uv),0))=usin(uv)veci+ucos(uv)vecj$

$d\sigma=|vec(t_u) xx vec(t_v)|dudv=sqrt(u^2sin^2(uv)+u^2cos^2(uv))dudv=|u|dudv=ududv$

[Dr.Hermann]

ah, non pensavo si potesse calcolare anche cosi.. io ho sempre fatto come ho detto sopra, ponendola uguale alla radice di uno più la norma al quadrato della funzione z=f(x,y).
Grazie!

[gugo82]

"Dr.Hermann":ah, non pensavo si potesse calcolare anche cosi.. io ho sempre fatto come ho detto sopra, ponendola uguale alla radice di uno più la norma al quadrato della funzione z=f(x,y).

Il problema è che non tutte le superfici sono superfici-grafico.

Ma la teoria l'hai studiata?
Se sì, rivedila; se no, è inutile fare esercizi senza conoscerla.