Elemento di volume infinitesimo in coordinate polari sferiche
Ciao a tutti !
Oggi eccomi con una domanda riguardo l'argomento del titolo. In particolare il mio dubbio riguarda il non riuscire a giungere alla formula corretta attraverso un calcolo. Mi spiego: so che, dato un elemento di volume infinitesimo $dv$, esso può essere espresso in coordinate cartesiane come $dv=dxdydz$ ed in coordinate polari sferiche come $dv=r^2sin\thetad\thetadphidr$ cui si può giungere o tramite jacobiano o, in campo fisico ad esempio, tramite considerazioni geometriche sull'elemento di volume infinitesimo di sfera in coordinate polari sferiche. La mia domanda è: ho eseguito un brutale calcolo a partire dalla relazione tra coordinate cartesiane e sferiche eppure non sono giunto al risultato. Dunque vi chiedo, dov'è l'errore ? Ecco il procedimento che ho seguito:
da cui, differenziando, ottengo:
Ora, procedendo a moltiplicare, ottengo:
$dxdy=drsinθcosϕrsinθcosϕdϕ+drsinθcosϕrcosθsinϕdθ+rcosθcosϕdθdrsinθsinϕ+rcosθcosϕdθrsinθcosϕdϕ−rsinθsinϕdϕdrsinθsinϕ−rsinθsinϕdϕrcosθsinϕdθ$
dove ho trascurato i termini che, moltiplicati, mi restituiscono infinitesimi di ordine superiore (ad esempio $dr*dr$, $d\theta*d\theta$ e $dphi*dphi$).
Infine, moltiplicando il tutto per $dz=drcosθ−rsinθ\d\theta$ giungo a:
$dxdydz=r^2sinthetadphid\thetadr(cos^2phi-sin^2phi)(cos^2\theta-sin^2\theta)$
trascurando, nella moltiplicazione per dz, anche qui gli infinitesimi di ordine superiore.
Il problema è: perché ho quelle due parentesi in più rispetto al risultato atteso ? Sono dovute al trascurare gli infinitesimi di ordine superiore ? Oppure il loro prodotto fa, per qualche proprietà che mi sfugge, 1, tale per cui torno al risultato atteso ?
Grazie sin da ora a quanti risponderanno e, come sempre,
saluti
Oggi eccomi con una domanda riguardo l'argomento del titolo. In particolare il mio dubbio riguarda il non riuscire a giungere alla formula corretta attraverso un calcolo. Mi spiego: so che, dato un elemento di volume infinitesimo $dv$, esso può essere espresso in coordinate cartesiane come $dv=dxdydz$ ed in coordinate polari sferiche come $dv=r^2sin\thetad\thetadphidr$ cui si può giungere o tramite jacobiano o, in campo fisico ad esempio, tramite considerazioni geometriche sull'elemento di volume infinitesimo di sfera in coordinate polari sferiche. La mia domanda è: ho eseguito un brutale calcolo a partire dalla relazione tra coordinate cartesiane e sferiche eppure non sono giunto al risultato. Dunque vi chiedo, dov'è l'errore ? Ecco il procedimento che ho seguito:
${ ( x=rsinθcosϕ ),( y=rsinθsinϕ ),( z=rcosθ ):}$
da cui, differenziando, ottengo:
$dx=drsinθcosϕ+rcosθcosϕdθ−rsinθsinϕdϕ$
$dy=drsinθsinϕ+rsinθcosϕdϕ+rcosθsinϕdθ$
$dz=drcosθ−rsinθ\d\theta$
$dy=drsinθsinϕ+rsinθcosϕdϕ+rcosθsinϕdθ$
$dz=drcosθ−rsinθ\d\theta$
Ora, procedendo a moltiplicare, ottengo:
$dxdy=drsinθcosϕrsinθcosϕdϕ+drsinθcosϕrcosθsinϕdθ+rcosθcosϕdθdrsinθsinϕ+rcosθcosϕdθrsinθcosϕdϕ−rsinθsinϕdϕdrsinθsinϕ−rsinθsinϕdϕrcosθsinϕdθ$
dove ho trascurato i termini che, moltiplicati, mi restituiscono infinitesimi di ordine superiore (ad esempio $dr*dr$, $d\theta*d\theta$ e $dphi*dphi$).
Infine, moltiplicando il tutto per $dz=drcosθ−rsinθ\d\theta$ giungo a:
$dxdydz=r^2sinthetadphid\thetadr(cos^2phi-sin^2phi)(cos^2\theta-sin^2\theta)$
trascurando, nella moltiplicazione per dz, anche qui gli infinitesimi di ordine superiore.
Il problema è: perché ho quelle due parentesi in più rispetto al risultato atteso ? Sono dovute al trascurare gli infinitesimi di ordine superiore ? Oppure il loro prodotto fa, per qualche proprietà che mi sfugge, 1, tale per cui torno al risultato atteso ?
Grazie sin da ora a quanti risponderanno e, come sempre,
saluti
Risposte
Quel prodotto non può fare \(1\); per \(\phi=\frac\pi 4\), ad esempio, vale \(0\). Penso proprio ci sia un errore di calcolo da qualche parte.
@ BayMax
Per comprendere che il problema non può essere affrontato in questo modo, è sufficiente considerare un esempio molto più semplice. Non:
piuttosto:
A questo punto, vista la sua complessità, non credo valga la pena cimentarsi nel caso che hai proposto.
Per comprendere che il problema non può essere affrontato in questo modo, è sufficiente considerare un esempio molto più semplice. Non:
$\{(x=a+b),(y=a-b):} rarr \{(dx=da+db),(dy=da-db):} rarr dxdy=da^2-db^2$
piuttosto:
$\{(x=a+b),(y=a-b):}$
$dxdy=4(dadb)/2=2dadb$
A questo punto, vista la sua complessità, non credo valga la pena cimentarsi nel caso che hai proposto.
In realtá ció che manca è il prodotto \(\wedge\). Quando si moltiplicano due forme differenziali, come \(dx\) e \(dy\), non si sta facendo un prodotto ordinario di numeri, ma un "wedge"; bisognerebbe scrivere \(dx\wedge dy\), solo che in genere si omette (per vari motivi). La particolarità è che il wedge è anticommutativo: \(dx\wedge dy = -dy\wedge dx\). In particolare, \(dx\wedge dx=0\).
Inoltre, alla fine del calcolo bisogna prendere il valore assoluto.
Inoltre, alla fine del calcolo bisogna prendere il valore assoluto.
Ciao @dissonance e @anonymous_0b37e9 e grazie davvero ad entrambi !
Come al solito la facevo troppo semplice](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
. Ho provato più volte a fare banalmente il calcolo e tornavo sempre allo stesso punto ed ora è evidente che applicavo regole non valide. Non provo nemmeno a cimentarmi nel calcolo vero perché non ne sono assolutamente in grado. Prenderò per buono lo jacobiano. Grazie ancora ad entrambi e, come sempre,
saluti
Come al solito la facevo troppo semplice
. Ho provato più volte a fare banalmente il calcolo e tornavo sempre allo stesso punto ed ora è evidente che applicavo regole non valide. Non provo nemmeno a cimentarmi nel calcolo vero perché non ne sono assolutamente in grado. Prenderò per buono lo jacobiano. Grazie ancora ad entrambi e, come sempre,saluti
In realtà è un calcolo interessante, una maniera alternativa di manipolare gli elementi di volume e superficie, ma richiede un po' di conoscenze di forme differenziali. Con il linguaggio delle forme differenziali, l'elemento di volume \(dxdydz\) andrebbe scritto \(\lvert dx\wedge dy\wedge dz\rvert\). Se ti interessa l'argomento potresti dare un'occhiata al libro di Manfredo Do Carmo, "Differential forms" (tradotto in inglese dall'originale in portoghese).
Grazie del suggerimento del testo @dissonance. Hai stimolato la mia curiosità e cercherò di dargli un'occhiata, sperando che le mie poche basi matematiche mi consentano di capire qualcosa. Dato che siamo più o meno in tema abuserei del tuo tempo per chiederti, a questo punto, un testo valido sul quale trovare la dimostrazione dello jacobiano nella trasformazione di coordinate (ad esempio trattata nei cambiamenti di coordinate negli integrali multipli). Sui pochi testi di analisi che mi è capitato di consultare (Bertsch, Pagani) la dimostrazione è volutamente non trattata in quanto ritenuta troppo tecnica. Grazie ancora e, come sempre,
saluti
saluti
BayMax
[ot]Penso di avertelo già detto, ma lo ripeto ancora una volta! La tua immagine di Baymax è bellissima, mi mette sempre di buon umore! Ti prego non cambiarla mai!!
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[ot]Penso di avertelo già detto, ma lo ripeto ancora una volta! La tua immagine di Baymax è bellissima, mi mette sempre di buon umore! Ti prego non cambiarla mai!!
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"BayMax":
in campo fisico ad esempio, tramite considerazioni geometriche sull'elemento di volume infinitesimo di sfera
se fai il disegno del pezzettino di sfera è abbastanza facile capire che il volume è quello lì, hai provato?
puoi vederlo come un parallelepipedo di altezza $dr$ e lati di base $r \sin \theta d\phi$ e $r d\theta$. Certo matematicamente è uno scempio
Comunque così a occhio il tuo procedimento avrebbe duvuto portare a un risultato corretto penso. Probabilmente come diceva dissonance non hai tenuto conto in qualche punto dell'anticommutatività del prodotto esterno di forme. Prova a riguardare i passaggi tenendo conto ad esempio che $dr\wedge d\phi=-\d\phi \wedge dr$ e $dr \wedge dr=0$. Anche se non sai cosa è una k-forma o cosa è il prodotto esterno di forme dovresti riuscire a portare avanti il conto. Tieni conto che comunque è associativo almeno
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