Elementi di un insieme numeri complessi
Ciao a tutti questo e' uno strano esercizio sui numeri complessi, non riesco ad arrivare ad una soluzione, aiutatemi per favore e se vi e' una strada piu' veloce ditemela. Grazie in anticipo
Elencare gli elementi del seguente insieme $E=$ $ {z\in\mathbb{C},|z^2-1-i|=|z^2+1+i|, |z^2|=5 } $
ho provato a risolvere cosi' l'esercizio
$|z^2-1-i|=|z^2+1+i|$
$z=x+iy\rightarrow |(x+iy)^2-1-i|=|(x+iy)^2+1+i|\rightarrow $
$\rightarrow |x^2-y^2+2xyi-1-i|=|x^2-y^2+2xyi+1+i|\rightarrow $
$\rightarrow |x^2-y^2-1+i(2xy-1)|=|x^2-y^2+1+i(2xy+1)|$
la radice quadrata l'ho gia' tolta
$(x^2-y^2-1)^2+(2xy-1)^2=(x^2-y^2+1)^2+(2x+1)^2$
mi sembrano troppi conti assurdi, be' facendo i calcoli si arriva qui (se li ho fatti bene)
$-x^2+y^2-4xy=0\rightarrow x^2-y^2+4xy=0$
E' per caso un'iperbole?...
poi va be' questa e' una circonferenza che ha come raggio 25 esatto? $|z^2|=5$
C'e' un'altra strada per risolvere l'esercizio?..perche' cosi' mi sto perdendo e forse ho anche sbagliato.
Grazie in anticipo.
Elencare gli elementi del seguente insieme $E=$ $ {z\in\mathbb{C},|z^2-1-i|=|z^2+1+i|, |z^2|=5 } $
ho provato a risolvere cosi' l'esercizio
$|z^2-1-i|=|z^2+1+i|$
$z=x+iy\rightarrow |(x+iy)^2-1-i|=|(x+iy)^2+1+i|\rightarrow $
$\rightarrow |x^2-y^2+2xyi-1-i|=|x^2-y^2+2xyi+1+i|\rightarrow $
$\rightarrow |x^2-y^2-1+i(2xy-1)|=|x^2-y^2+1+i(2xy+1)|$
la radice quadrata l'ho gia' tolta
$(x^2-y^2-1)^2+(2xy-1)^2=(x^2-y^2+1)^2+(2x+1)^2$
mi sembrano troppi conti assurdi, be' facendo i calcoli si arriva qui (se li ho fatti bene)
$-x^2+y^2-4xy=0\rightarrow x^2-y^2+4xy=0$
E' per caso un'iperbole?...
poi va be' questa e' una circonferenza che ha come raggio 25 esatto? $|z^2|=5$
C'e' un'altra strada per risolvere l'esercizio?..perche' cosi' mi sto perdendo e forse ho anche sbagliato.
Grazie in anticipo.
Risposte
"55sarah":
poi va be' questa e' una circonferenza che ha come raggio 25 esatto? $|z^2|=5$
La circonferenza non ha raggio \(\sqrt{5}\)?
E poi non sono sicuro che \(x^{2}-y^{2}+4xy=0\) sia un'iperbole*.
Se i tuoi calcoli sono giusti (non li ho controllati) ti dovrebbero venire 4 punti (ovvero quattro numeri complessi).
*EDIT ovvero mi sembra un'iperbole degenere
Attendo conferma se il ragionamento è esatto.
non è più facile fare così?
$z^2=\omega$
e quindi il tuo insieme E diventa $E={\omega\in\mathbb{C}, |\omega-(1+i)|=|\omega+(1+i)|,|\omega|=5}$
a disegnarlo viene meglio, su carta disegni i punti $\phi_0=1+i$ e $\phi_1=-1-i$
la retta che passa in mezzo a quei punti è $y=-x$, che tocca la circonferenza di raggio 5, 2 punti
una volta trovati questi punti, ammettiamo il caso $\omega_0=(x_0,y_0)$ e $\omega_1=(x_1,y_1)$
fai così $z^2=\omega_0$
ora dovesti essere capace..sì in totale hai 4 punti!
non è più facile fare così?
$z^2=\omega$
e quindi il tuo insieme E diventa $E={\omega\in\mathbb{C}, |\omega-(1+i)|=|\omega+(1+i)|,|\omega|=5}$
a disegnarlo viene meglio, su carta disegni i punti $\phi_0=1+i$ e $\phi_1=-1-i$
la retta che passa in mezzo a quei punti è $y=-x$, che tocca la circonferenza di raggio 5, 2 punti
una volta trovati questi punti, ammettiamo il caso $\omega_0=(x_0,y_0)$ e $\omega_1=(x_1,y_1)$
fai così $z^2=\omega_0$
ora dovesti essere capace..sì in totale hai 4 punti!
mi sono messa rifare l'esercizio, confermatemi se è corretto. Se c'è qualche errore scrivete pure, o magari anche un procedimento più veloce
ho fatto come mi ha suggerito 21zuclo e i valori che ho trovato sono
$\omega_0=(5)/(sqrt(2))-i(5)/(sqrt(2))$ e $\omega_1=-(5)/(sqrt(2))+i(5)/(sqrt(2))$
ora faccio $z^2=\omega_0$ e trovo $sqrt(5)\cdot \exp(i((-\pi/4+2k\pi)/(2)))$ con $k=0,1$
poi faccio $z^2=\omega_1$ e trovo $sqrt(5)\cdot\exp(i((3/4\pi+2k\pi)/(2)))$ con $k=0,1$
ora basta solamente calcolare i valori ed il gioco è fatto..ma ditemi se è esatto.
Grazie in anticipo.
ho fatto come mi ha suggerito 21zuclo e i valori che ho trovato sono
$\omega_0=(5)/(sqrt(2))-i(5)/(sqrt(2))$ e $\omega_1=-(5)/(sqrt(2))+i(5)/(sqrt(2))$
ora faccio $z^2=\omega_0$ e trovo $sqrt(5)\cdot \exp(i((-\pi/4+2k\pi)/(2)))$ con $k=0,1$
poi faccio $z^2=\omega_1$ e trovo $sqrt(5)\cdot\exp(i((3/4\pi+2k\pi)/(2)))$ con $k=0,1$
ora basta solamente calcolare i valori ed il gioco è fatto..ma ditemi se è esatto.
Grazie in anticipo.
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