Elementi di minima norma per convessi chiusi
Sappiamo che $H$ è un Hilbert e $E\subseteq H$ è un convesso chiuso, esiste in $E$ un unico elemento di minima norma, cioè esiste $x\in E$ tale che $"||"x"||"<"||"y"||"$ per ogni $y\in E$, $y\ne x$.
Questo non accade se lo spazio ambiente non è di Hilbert. Dovrei dimostrare questa affermazione nei seguenti casi
\[M_1:=\left\{f\in C([0,1]): \int_0^{1/2}f(x)\,\text{d}x-\int_{1/2}^1f(x)\,\text{d}x=1\right\}\subseteq (C(0,1),\|\cdot\|_\infty)\\
M_2:=\left\{f\in L^1([0,1]): \int_0^{1}f(x)\,\text{d}x=1\right\}\subseteq (L^1(0,1),\|\cdot\|_1)
\]
Entrambi sono convessi chiusi: dovrei far vedere che, tuttavia, $M_1$ non ha elementi di minima norma, mentre $M_2$ ne ha infiniti.
Nel secondo caso si può ragionare così: se $f\in M_2$ si ha
\[\|f\|_1=\int^1_0|f(x)|\,\text{d}x\ge\left|\int^1_0f(x)\,\text{d}x\right|=1\]
Inoltre la funzione costante $1$ sta in $M_2$ ed ha norma $1$, che quindi è il minimo valore della norma degli elementi di $M_2$. A questo punto basta "tagliuzzare" qua e la la funzione costante $1$ per ottenere infinite funzioni di $M_2$ di norma $1$, per esempio così:
\[f_n(x):=\begin{cases}
1+1/n&x\in[0,1/2]\\
1-1/n&x\in[1/2,1]
\end{cases}\qquad f_n\in M_2 \qquad\|f_n\|_1\equiv 1\]
Credo che per $M_1$ ci voglia un'idea simile, ma ho il cervello sovraccarico al momento. Qualche suggerimento?
Questo non accade se lo spazio ambiente non è di Hilbert. Dovrei dimostrare questa affermazione nei seguenti casi
\[M_1:=\left\{f\in C([0,1]): \int_0^{1/2}f(x)\,\text{d}x-\int_{1/2}^1f(x)\,\text{d}x=1\right\}\subseteq (C(0,1),\|\cdot\|_\infty)\\
M_2:=\left\{f\in L^1([0,1]): \int_0^{1}f(x)\,\text{d}x=1\right\}\subseteq (L^1(0,1),\|\cdot\|_1)
\]
Entrambi sono convessi chiusi: dovrei far vedere che, tuttavia, $M_1$ non ha elementi di minima norma, mentre $M_2$ ne ha infiniti.
Nel secondo caso si può ragionare così: se $f\in M_2$ si ha
\[\|f\|_1=\int^1_0|f(x)|\,\text{d}x\ge\left|\int^1_0f(x)\,\text{d}x\right|=1\]
Inoltre la funzione costante $1$ sta in $M_2$ ed ha norma $1$, che quindi è il minimo valore della norma degli elementi di $M_2$. A questo punto basta "tagliuzzare" qua e la la funzione costante $1$ per ottenere infinite funzioni di $M_2$ di norma $1$, per esempio così:
\[f_n(x):=\begin{cases}
1+1/n&x\in[0,1/2]\\
1-1/n&x\in[1/2,1]
\end{cases}\qquad f_n\in M_2 \qquad\|f_n\|_1\equiv 1\]
Credo che per $M_1$ ci voglia un'idea simile, ma ho il cervello sovraccarico al momento. Qualche suggerimento?
Risposte
Per \(M_1\), il "candidato" a norma minima dovrebbe valere \(1\) per \(x < 1/2\) e \(-1\) per \(x>1/2\), ma purtroppo non c'è nessuna funzione continua con questa proprietà...
Ciao Rigel! 
Ci sono! Assodato quindi che $"||"f"||"_\infty>1$ per ogni $f\in M_1$, resta da far vedere che $1$ è effettivamente l'inf dei valori assunti da $ "||" \cdot "||"_\infty$ su $M_1$. Non venendomi in mente delle motivazioni per cui ciò si possa stabilire a priori, ho fabbricato una famiglia di funzioncine $\{f_\epsilon\}_{\epsilon>0}$ di $M_1$ di norma arbitrariamente vicina a $1$.
Per intenderci al volo, il grafico di $f_\epsilon$ è:
Per $epsilon\to 0^+$ si ottiene proprio il "candidato" norma minima
Ci sono! Assodato quindi che $"||"f"||"_\infty>1$ per ogni $f\in M_1$, resta da far vedere che $1$ è effettivamente l'inf dei valori assunti da $ "||" \cdot "||"_\infty$ su $M_1$. Non venendomi in mente delle motivazioni per cui ciò si possa stabilire a priori, ho fabbricato una famiglia di funzioncine $\{f_\epsilon\}_{\epsilon>0}$ di $M_1$ di norma arbitrariamente vicina a $1$.
Per intenderci al volo, il grafico di $f_\epsilon$ è:
Per $epsilon\to 0^+$ si ottiene proprio il "candidato" norma minima
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