$|e^{ix}-1|\leq |x|\ $ $\ \forall\ x\in\mathbb{R}$

[retrocomputer]

Come da titolo, dovevo provare la seguente disequazione (con numeri complessi), o meglio, una disequazione che si riconduceva facilmente alla seguente:

$|e^{ix}-1|\leq |x|\ $ $\ \forall\ x\in\mathbb{R}$

Solo dopo ho scoperto che si tratta di una disequazione piuttosto famosa e ho trovato una dimostrazione diversa (e naturalmente più breve ed elegante, che poi magari metto qui di seguito) dalla mia.

Questa è la dimostrazione che ho fatto io. La metto nascosta per chi magari ha voglia di dimostrarla per conto suo, comunque gradirei una conferma della sua correttezza:

$|e^{ix}-1|=|\cos x +i\sin x -1|=\sqrt{\cos^2 x +1 -2\cos x+\sin^2 x}=\sqrt{2-2\cos x}=\sqrt{2}\sqrt{1-\cos x}$

quindi

$|e^{ix}-1|\leq |x|\ $ $\ \Leftrightarrow\ $ $\sqrt{2}\sqrt{1-\cos x}\leq |x|$ $\ \Leftrightarrow\ $ $1-\cos x\leq {x^2}/2$ $\ \Leftrightarrow\ $ $\cos x\geq 1-{x^2}/2$

e l'ultima disequazione è vera, per esempio per lo sviluppo in serie di Taylor del coseno.

[gugo82]

La dimostrazione andrebbe rimaneggiata un po', ma è corretta.

L'ultima disuguaglianza è vera perchè basta farsi il conticino: infatti si ha:
\[
\begin{split}
&-\cos x \geq -1 \\
&\Rightarrow \ -\sin x =\int_0^x (-\cos t)\ \text{d} t \geq \int_0^x (-1)\ \text{d} t =-x\\
& \Rightarrow\ \cos x -1=\int_0^x (-\sin t)\ \text{d} t \geq \int_0^x (-t)\ \text{d} t = -\frac{x^2}{2}\; .
\end{split}
\]

[theras]

@Retrocomputer
O perchè,in alternativa a quanto fatto da Gugo,
restringendo a $[0,+oo)$ lo studio della funzione pari $f(x)=cosx-1+(x^2)/2:RR to RR$,
è possibile dedurre la non decrescenza di g in tale intervallo;
ciò in quanto $f'(x)>=0$ $AAx in[0,+oo)$,
come discende dalla nota disuguaglianza $senx<=x$ $AAx in [0,1]subset[0,pi/2]$ edall'altra,ovvia,$senx<=1 la simmetria di $G_f$ rispetto a$vec(y)text{ }$,assicurerà infine che $f(x)>=f(0)=0$ $AAx inRR$..
Saluti dal web.

[retrocomputer]

"gugo82":La dimostrazione andrebbe rimaneggiata un po', ma è corretta.

Rimaneggia, rimaneggia pure

"gugo82":
$-\sin x =\int_0^x (-\cos t)\ \text{d} t \geq \int_0^x (-1)\ \text{d} t =-x$

Grazie! Tra l'altro, il pezzo quotato qui sopra potrebbe essere in qualche modo un suggerimento per l'altro metodo che ho trovato su un libro...

Ma lo sviluppo in serie per giustificare l'ultima disequazione va bene?

[gugo82]

"retrocomputer":[quote="gugo82"]La dimostrazione andrebbe rimaneggiata un po', ma è corretta.

Rimaneggia, rimaneggia pure [/quote]
La riscriverei così:

Per la formula di Eulero si ha:
\[
e^{\imath\ x} = \cos x+\imath\ \sin x
\]
dunque:
\[
|e^{\imath\ x} -1|^2 = (\cos x-1)^2 +\sin^2 x= 2(1-\cos x)\; .
\]
La disuguaglianza elementare \(1-\cos x\leq x^2/2\), valida ovunque in \(\mathbb{R}\), importa:
\[
|e^{\imath\ x}-1|^2 \leq x^2
\]
dalla quale si ottiene immediatamente la tesi.

"retrocomputer":[quote="gugo82"]
$-\sin x =\int_0^x (-\cos t)\ \text{d} t \geq \int_0^x (-1)\ \text{d} t =-x$

Grazie! Tra l'altro, il pezzo quotato qui sopra potrebbe essere in qualche modo un suggerimento per l'altro metodo che ho trovato su un libro...

Ma lo sviluppo in serie per giustificare l'ultima disequazione va bene?[/quote]
Dipende da come lo usi... Io non l'ho capito.

[retrocomputer]

"gugo82":
Dipende da come lo usi... Io non l'ho capito.

Ripensandoci, nemmeno io Cioè, avevo una mezza idea di fare lo sviluppo fino al secondo grado e provare che il resto è positivo, ma non penso che riuscirei a farlo...
Mi tengo la tua dimostrazione e quella di theras Grazie a entrambi!

[theras]

Ed io che credevo me l'avessi snobbata di brutto,
e non t'ho voluto postare quella basata solo su considerazioni trigonometriche elementari, riguardanti la formula di bisezione del seno,
che m'è passata solo dopo per la testa
(non ti sei perso nulla, comunque,perché tanto per cambiare G. te l'aveva in un certo senso già introdotta..):
malfidato che sono!
Saluti dal web.
P.S.Figurati..

[retrocomputer]

"theras":Ed io che credevo me l'avessi snobbata di brutto,

No no, anzi! Mentre guardavo sconsolato lo sviluppo in serie del coseno mi sono proprio chiesto perché dovrei occuparmi della positività dell'espressione del resto quando theras ha provato con un semplice studio di funzione la positività dell'altro pezzo (e quindi anche del resto)

Se poi qualcuno vuole cimentarsi con la dimostrazione (della disuguaglianza nel titolo) che ho visto sul libro, inizia così:
$|e^{ix}-1|=|{e^{ix}-1}/i|=...$

[retrocomputer]

Riprendo questo thread per una questione forse collegata, ovvero la seguente disuguaglianza che ho trovato:
$|(e^{ihx}-1)/h|\leq 2|x|$.

Ora, io userei la disuguaglianza del titolo:
$|(e^{ihx}-1)/h|\leq (|hx|)/|h|=|x|\leq 2|x|$

Però, magari se nel testo c'è il 2 è perché forse con il 2 si dimostra più facilmente... Qualche idea?