Effettuare una maggiorazione

[Andrea902]

Buonasera a tutti!
Devo dimostrare, senza usufruire degli sviluppi di Taylor e di Mac-Laurin che: [tex]\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty}\Big(1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}\Big)=e^x[/tex].
Penserei di dimostrare il limite sfruttando il teorema del confronto. Parto dalla disuguaglianza (giusta?): [tex]\displaystyle\Big(1+\frac{x}{n}\Big)^n\leq1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}\Big[/tex] e dovrei continuare con una maggiorazione. Tuttavia non saprei a cosa pensare... è chiaro che [tex]\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}\Big(1+\frac{x}{n}\Big)^n=e^x[/tex] ed è questo fatto che non mi fa rinunciare a questa strada che reputo percorribile!
Avete qualche idea?

Vi ringrazio anticipatamente per le risposte.

[dissonance]

Per prima cosa dovresti specificare come hai definito $e^x$.

[alberto.chiarini]

Per cominciare, mancano un po' di esponenti

[Andrea902]

"dissonance":Per prima cosa dovresti specificare come hai definito $e^x$.

In che senso come ho definito [tex]e^x[/tex]? Ho definito [tex]e[/tex] come il limite della successione [tex](1+\frac{1}{n})^n[/tex]... .
Voi avete qualche idea di come dimostrare quel limite?
[Ho messo gli esponenti dove mancavano!]

[Alexp1]

Prova a gurdare qui

[Andrea902]

In sostanza, seguendo la strada proposta in Wikipedia, si proverebbe che il limite da me assegnato è uguale a quello quasi immediato: [tex]\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}\Big(1+\frac{x}{n}\Big)^n=e^x[/tex]. E credo che questa sia la via più rapida (e anche elegante) per risolvere il quesito posto.
Secondo voi?

[j18eos]

Francamente lo trovo un modo molto elegante e lineare nel risolvere il quesito!

[Andrea902]

Perfetto! Vi ringrazio!

[Andrea902]

Approfitto del topic per proporvi una questione affine a quella già discussa e sulla quale ho delle perplessità. Come già detto, si pone per definizione, [tex]\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n=e[/tex]. Tuttavia, si dimostra, che è pure: [tex]\displaystyle e=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{k!}[/tex]. Nel testo di un esercizio, invece, si richiede di dimostrare, senza fare uso degli sviluppi di Taylor e di Mac-Laurin che [tex]\displaystyle\exists \vartheta_n \in ]0;1[:e=1+1+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}+\frac{e^{\vartheta_n}}{(n+1)!}[/tex]. Come posso fare? Oltretutto non capisco perché se stiamo definendo [tex]e[/tex], nella sua stessa definizione (o presunta tale) compaia [tex]e[/tex] (nella fattispecie compare [tex]e^{\vartheta_n}[/tex]).
Vi ringrazio ancora per le risposte.

[j18eos]

Sono rimasto perplesso anch'io!

[Andrea902]

E con questa uguaglianza fantasmagorica, il testo dimostra il classico limite: [tex]\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}n\sin(2\pi en!)=2\pi[/tex]. Per farla completa, fornisce anche una variante (secondo me più logica della precedente, ma parimenti complicata da dimostrare): [tex]\displaystyle e=2+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}+\frac{\theta_n}{n!n}[/tex], con [tex]0<\theta_n<1[/tex]. Questa ultima relazione andrebbe dimostrata a partire da: [tex]\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}\Big(1+1+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}\Big)=e[/tex]. Avreste qualche idea almeno per questa seconda relazione?! A me non sta venendo nulla... non capisco come introdurre la quantità [tex]\theta_n[/tex]...

P.S.: Dal topic si evince che non mi sto ponendo quesiti facili! Ma li reputo stimolanti...!