EDP per la corda vibrante
Ciao a tutti, ho questo problema di Cauchy Dirichlet per una corda vibrante fissata agli estremi:
\(\displaystyle \begin{cases}u_{tt}=cu_{xx} & per 00 \\
u(0,t)=u(L,t)=0 & per t>0 \\
u(x,0)=u_{0}(x) & per 0
\)
Dove c è positiva. Si risolva il problema usando il metodo di separazione delle variabili.
Quindi cerco una soluzione a variabili separate nella forma: \(\displaystyle U(x,t)=X(x)T(t) \). Sostituisco nell'equazione differenziale e trovo: \(\displaystyle \frac{X^{''}(x)}{X(x)}=\frac{T^{''}(t)}{cT(t)} \) la cui soluzione è possibile solo se ogni membro è uguale ad una costante che chiamerò \(\displaystyle \lambda \).
Visto che devono valere le condizioni al contorno mi trovo un problema agli autovalori per \(\displaystyle X \):
\(\displaystyle \begin{cases} X^{''}(x)=\lambda X(x) & per 0
\end{cases} \)
Vi risparmio la risoluzione e trovo: \(\displaystyle \lambda=-\frac{n^{2}\pi^{2}}{L^{2}} \) e di conseguenza: \(\displaystyle X_{n}(x)=c_{n}sin(\frac{n\pi}{L}x)\) per \(\displaystyle n=1,2,3,.... \).
Ora dovrei sostituire il valore di \(\displaystyle \lambda \) per trovare \(\displaystyle T(t) \). Quindi costruisco un altro problema agli autovalori:
\(\displaystyle \begin{cases} T^{''}(t)=\lambda c T(t) & per t>0 \\
T^{'}(0)=0 & \\
\end{cases}\)
Che vorrei risolvere con lo stesso metodo usato prima, il problema è che, essendo c positivo e cercando io soluzioni del tipo \(\displaystyle e^{\lambda t} \) trovo che \(\displaystyle \lambda=\pm\sqrt{\frac{-n^{2}\pi^{2}c}{L^{2}}} \) che mi porta a trovare le soluzioni: \(\displaystyle T(t)=C_{1}cos(\sqrt{\frac{-n^{2}\pi^{2}c}{L^{2}}}t)+C_{2}sen(\sqrt{\frac{-n^{2}\pi^{2}c}{L^{2}}}t) \). Derivando ed imponendo la condizione \(\displaystyle T^{'}(0)=0 \) trovo solo le soluzioni banali (\(\displaystyle C_{1}=C_{2}=0 \). Dove sbaglio?
\(\displaystyle \begin{cases}u_{tt}=cu_{xx} & per 0
u(0,t)=u(L,t)=0 & per t>0 \\
u(x,0)=u_{0}(x) & per 0
\)
Dove c è positiva. Si risolva il problema usando il metodo di separazione delle variabili.
Quindi cerco una soluzione a variabili separate nella forma: \(\displaystyle U(x,t)=X(x)T(t) \). Sostituisco nell'equazione differenziale e trovo: \(\displaystyle \frac{X^{''}(x)}{X(x)}=\frac{T^{''}(t)}{cT(t)} \) la cui soluzione è possibile solo se ogni membro è uguale ad una costante che chiamerò \(\displaystyle \lambda \).
Visto che devono valere le condizioni al contorno mi trovo un problema agli autovalori per \(\displaystyle X \):
\(\displaystyle \begin{cases} X^{''}(x)=\lambda X(x) & per 0
\end{cases} \)
Vi risparmio la risoluzione e trovo: \(\displaystyle \lambda=-\frac{n^{2}\pi^{2}}{L^{2}} \) e di conseguenza: \(\displaystyle X_{n}(x)=c_{n}sin(\frac{n\pi}{L}x)\) per \(\displaystyle n=1,2,3,.... \).
Ora dovrei sostituire il valore di \(\displaystyle \lambda \) per trovare \(\displaystyle T(t) \). Quindi costruisco un altro problema agli autovalori:
\(\displaystyle \begin{cases} T^{''}(t)=\lambda c T(t) & per t>0 \\
T^{'}(0)=0 & \\
\end{cases}\)
Che vorrei risolvere con lo stesso metodo usato prima, il problema è che, essendo c positivo e cercando io soluzioni del tipo \(\displaystyle e^{\lambda t} \) trovo che \(\displaystyle \lambda=\pm\sqrt{\frac{-n^{2}\pi^{2}c}{L^{2}}} \) che mi porta a trovare le soluzioni: \(\displaystyle T(t)=C_{1}cos(\sqrt{\frac{-n^{2}\pi^{2}c}{L^{2}}}t)+C_{2}sen(\sqrt{\frac{-n^{2}\pi^{2}c}{L^{2}}}t) \). Derivando ed imponendo la condizione \(\displaystyle T^{'}(0)=0 \) trovo solo le soluzioni banali (\(\displaystyle C_{1}=C_{2}=0 \). Dove sbaglio?
Risposte
Hai appena provato che la costante di separazione \(\lambda\) può assumere i valori \(\lambda_n\).
Sostituendo nell'EDO per \(T\), trovi:
\[
\ddot{T} -c\ \lambda_n T=0
\]
la quale, dato che \(\lambda_n<0\), ha per soluzioni:
\[
T_n(t):= A_n\ \cos (\sqrt{\lambda_n c}\ t) +B_n\ \sin (\sqrt{\lambda_n c}\ t)\; .
\]
Dalla condizione iniziale \(u_t(x,0)=0\) segue \(X(x)\ \dot{T}(0)=0\) e dunque \(\dot{T}(0)=0\); derivando le \(T_n\) ottieni:
\[
\dot{T}_n(t):= \sqrt{\lambda_n c}\ \Big( -A_n\ \sin (\sqrt{\lambda_n c}\ t) +B_n\ \cos (\sqrt{\lambda_n c}\ t)\Big)
\]
e dunque, imponendo \(\dot{T}_n(0)=0\), trovi:
\[
\sqrt{\lambda_n c}\ B_n=0
\]
ossia \(B_n=0\), mentre \(A_n\) rimane indeterminata.
Pertanto le tue \(T_n\) sono pure cosinusoidi, in particolare:
\[
T_n(t)=A_n\ \cos \left( \sqrt{c}\ \frac{n\pi}{L}\ t\right)\; .
\]
Conseguentemente la \(u(x,t)\) sarà da ricercare nella forma:
\[
u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty C_n\ \sin \left( \frac{n\pi}{L}\ x\right)\ \cos \left( \sqrt{c}\ \frac{n\pi}{L}\ t\right)
\]
ove nelle \(C_n\) si sono raggruppate le costanti arbitrarie \(c_n\) ed \(A_n\).
Dato che \(u(x,0)=u_0(x)\), i coefficienti \(C_n\) devono essere determinati in modo che:
\[
u_0(x) = \sum_{n=1}^\infty C_n\ \sin \left( \frac{n\pi}{L}\ x\right)
\]
il che si può fare estendendo in modo dispari la \(u_0\) a tutto \([-L,L]\) e calcolandone i coefficienti di Fourier rispetto al sistema ortogonale \( \{ \sin \left( \frac{n\pi}{L}\ x\right) \}_{n\in \mathbb{N}}\).
Sostituendo nell'EDO per \(T\), trovi:
\[
\ddot{T} -c\ \lambda_n T=0
\]
la quale, dato che \(\lambda_n<0\), ha per soluzioni:
\[
T_n(t):= A_n\ \cos (\sqrt{\lambda_n c}\ t) +B_n\ \sin (\sqrt{\lambda_n c}\ t)\; .
\]
Dalla condizione iniziale \(u_t(x,0)=0\) segue \(X(x)\ \dot{T}(0)=0\) e dunque \(\dot{T}(0)=0\); derivando le \(T_n\) ottieni:
\[
\dot{T}_n(t):= \sqrt{\lambda_n c}\ \Big( -A_n\ \sin (\sqrt{\lambda_n c}\ t) +B_n\ \cos (\sqrt{\lambda_n c}\ t)\Big)
\]
e dunque, imponendo \(\dot{T}_n(0)=0\), trovi:
\[
\sqrt{\lambda_n c}\ B_n=0
\]
ossia \(B_n=0\), mentre \(A_n\) rimane indeterminata.
Pertanto le tue \(T_n\) sono pure cosinusoidi, in particolare:
\[
T_n(t)=A_n\ \cos \left( \sqrt{c}\ \frac{n\pi}{L}\ t\right)\; .
\]
Conseguentemente la \(u(x,t)\) sarà da ricercare nella forma:
\[
u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty C_n\ \sin \left( \frac{n\pi}{L}\ x\right)\ \cos \left( \sqrt{c}\ \frac{n\pi}{L}\ t\right)
\]
ove nelle \(C_n\) si sono raggruppate le costanti arbitrarie \(c_n\) ed \(A_n\).
Dato che \(u(x,0)=u_0(x)\), i coefficienti \(C_n\) devono essere determinati in modo che:
\[
u_0(x) = \sum_{n=1}^\infty C_n\ \sin \left( \frac{n\pi}{L}\ x\right)
\]
il che si può fare estendendo in modo dispari la \(u_0\) a tutto \([-L,L]\) e calcolandone i coefficienti di Fourier rispetto al sistema ortogonale \( \{ \sin \left( \frac{n\pi}{L}\ x\right) \}_{n\in \mathbb{N}}\).
Grazie a gugo per la sempre ottima spiegazione! 
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