EDP con distribuzioni al bordo
ciao a tutti
stavo tentando di studiare per l'esame di EDP e mi sono posto la seguente domanda, alla quale non ho trovato risposte immediate (neppure cercando un attimo nel forum).
supponiamo di avere il seguente problema definito su $[0,1] \times [0,T]$:
$u_t - u'' = f$
con $u = u(x,t)$ e $f$ in un opportuno spazio funzionale (da definire)
e le seguenti condizioni al bordo:
$u(x,0) = \delta (x) $ e $u(0,t) = u(1,t) = 0 \forall t \in [0,T]$
dove con $u_t$ ho indicato la derivata temporale e con $u''$ la doppia derivata spaziale e con $\delta (x)$ la delta di Dirac.
per problemi di questo tipo, ma senza la delta di Dirac, sono stato abituato a mettermi in $H_0^1([0,T];L^2)$ o spazi simili (a seconda delle condizioni al bordo) e usare Faedo Galerkin per avere esistenza e unicità della soluzione.
inoltre mi sono scritto un appunto di fianco che dice che l'intera equazione può essere reinterpretata in senso distribuzionale ma non ho scritto altro e non saprei molto che pesci pigliare..
In definitiva le domande che mi sorgono sono:
in che spazio devo cercare le soluzioni? deve essere per forza uno spazio di distribuzioni (tipo $D'(0,T)$) e come entra in questo caso la variabile temporale? oppure esiste qualche semplificazione possibile?
e che condizioni devo mettere per avere esistenza (e unicità) delle soluzioni? esistono delle tecniche "standard" per lavorare con le distribuzioni?
Grazie a tutti come al solito!
stavo tentando di studiare per l'esame di EDP e mi sono posto la seguente domanda, alla quale non ho trovato risposte immediate (neppure cercando un attimo nel forum).
supponiamo di avere il seguente problema definito su $[0,1] \times [0,T]$:
$u_t - u'' = f$
con $u = u(x,t)$ e $f$ in un opportuno spazio funzionale (da definire)
e le seguenti condizioni al bordo:
$u(x,0) = \delta (x) $ e $u(0,t) = u(1,t) = 0 \forall t \in [0,T]$
dove con $u_t$ ho indicato la derivata temporale e con $u''$ la doppia derivata spaziale e con $\delta (x)$ la delta di Dirac.
per problemi di questo tipo, ma senza la delta di Dirac, sono stato abituato a mettermi in $H_0^1([0,T];L^2)$ o spazi simili (a seconda delle condizioni al bordo) e usare Faedo Galerkin per avere esistenza e unicità della soluzione.
inoltre mi sono scritto un appunto di fianco che dice che l'intera equazione può essere reinterpretata in senso distribuzionale ma non ho scritto altro e non saprei molto che pesci pigliare..
In definitiva le domande che mi sorgono sono:
in che spazio devo cercare le soluzioni? deve essere per forza uno spazio di distribuzioni (tipo $D'(0,T)$) e come entra in questo caso la variabile temporale? oppure esiste qualche semplificazione possibile?
e che condizioni devo mettere per avere esistenza (e unicità) delle soluzioni? esistono delle tecniche "standard" per lavorare con le distribuzioni?
Grazie a tutti come al solito!
Risposte
provo ad uppare..
Prova a leggere su Analisi III di Gilardi; mi pare che questa roba sia trattata lì.
Altrimenti, prova direttamente sul libro di Schwartz.
Altrimenti, prova direttamente sul libro di Schwartz.
@$e^{itheta}$: Sai dove altro puoi vedere? Su Partial differential equations in action: from modeling to theory di Sandro Salsa.
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