EDO vettoriale
Esercizio - Calcolare autovalori e autovettori della matrice \(\mathbb{A}\) e calcolare la soluzione generale della seguente equazione differenziale vettoriale:
\[\frac{\text{d}}{\text{d}x} \mathbf{y} =\mathbb{A} \mathbf{y}\]
dove
\[\mathbb{A}=\left[\begin{matrix}4 & -2 \\ 8 & -4\end{matrix}\right]\]
e la funzione incognita \(\mathbf{y}: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2\)
Soluzione -
\[\mathbf{y}=C_1\left[\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}\right] +C_2 \left (\left[\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}\right]-2x \left[\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}\right] \right) \]
Ho qualche problema con questo esercizio... non riesco a capire come determinare i due vettori costanti
\[\left[\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}\right] \qquad \left[\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}\right] \]
che costruiscono la soluzione.
Posto la mia soluzione.
Per prima cosa determino gli autovalori \(\lambda_{1,2}\) della matrice \(\mathbb{A}\). Trovo
\[\lambda_{1,2}=0\]
gli autovalori sono coincidenti (ossia si ha un solo autovalore \(\lambda\) di molteplicità algebrica doppia), dunque posso trovare solo una soluzione \(\mathbf{y}_1\) per l'EDO nella forma
\[\begin{split} \mathbf{y}_1 &=\mathbf{v}\exp(0x) \\ &=\mathbf{v} \end{split}\]
dove \(\mathbf{v}\) è un autovettore associato all'autovalore \(\lambda = 0\).
Con qualche conto trovo che gli autovettori associati a tale autovalore sono della forma
\[\mathbf{v}=k \left[\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}\right] \quad \forall k \in \mathbb{R}\]
quindi, per semplicità fissando \(k=1\), posso considerare come prima soluzione
\[ \mathbf{y}_1= \left[\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}\right] \]
Ora arrivano i problemi, o meglio le questioni dubbie. Riporto alla lettera quanto scritto al riguardo sulle dispense che sto seguendo
Se non ho capito male, allora per trovare un'altra soluzione (linearmente indipendente da quella trovata sopra) dell'EDO in questione mi basta prendere un qualsiasi vettore costante \(\mathbf{v}\) che soddisfi l'equazione
\[(\mathbb{A}-\lambda \mathbb{I})^2\mathbf{v}=\mathbf{0}\]
che non sia un autovettore per \(\mathbb{A}\).
Essendo nel mio caso
\[\begin{split} \left(\left[\begin{matrix}4 & -2 \\ 8 & -4\end{matrix}\right]-0\mathbb{I}\right)^2 &=\left[\begin{matrix}4 & -2 \\ 8 & -4\end{matrix}\right]^2 \\
&= 0\mathbb{I} \end{split}\]
l'equazione \((\mathbb{A}-\lambda \mathbb{I})^2\mathbf{v}=\mathbf{0}\) è soddisfatta da qualsiasi vettore costante \(\mathbf{v} \in \mathbb{R}^2\), quindi, evitando gli autovettori, posso per esempio considerare \(\mathbf{v}=[1,1]^{\text{T}}\) e, conseguentemente, come soluzione aggiuntiva \(\mathbf{y}_2\) la funzione
\[\begin{split} \mathbf{y}_2 & = \exp(0x)\left\{\left[\begin{matrix}1 \\ 1\end{matrix}\right]+x \left (\left[\begin{matrix}4 & -2 \\ 8 & -4\end{matrix}\right]-0\mathbb{I} \right ) \left[\begin{matrix}1 \\ 1\end{matrix}\right]\right\} \\
&=\left[\begin{matrix}1+2x \\ 1+4x\end{matrix}\right] \end{split}\]
arrivo dunque a concludere che la soluzione generale dell'EDO è
\[\begin{split} \mathbf{y} &=C_1 \mathbf{y}_1+C_2 \mathbf{y}_2 \\ &=C_1\left[\begin{matrix}1 \\ 2\end{matrix}\right] +C_2 \left[\begin{matrix}1+2x \\ 1+4x\end{matrix}\right] \end{split}\]
Tirando le somme:
E' corretto quanto ho scritto? Se sì, è probabile che l'autore abbia fatto il mio stesso ragionamento semplicemente considerando, per \(\mathbf{y}_2\), come vettore costante \(\mathbf{v}=[0,1]^{\text{T}}\) invece che, come ho fatto io, \(\mathbf{v}=[1,1]^{\text{T}}\)?
\[\frac{\text{d}}{\text{d}x} \mathbf{y} =\mathbb{A} \mathbf{y}\]
dove
\[\mathbb{A}=\left[\begin{matrix}4 & -2 \\ 8 & -4\end{matrix}\right]\]
e la funzione incognita \(\mathbf{y}: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2\)
Soluzione -
\[\mathbf{y}=C_1\left[\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}\right] +C_2 \left (\left[\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}\right]-2x \left[\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}\right] \right) \]
Ho qualche problema con questo esercizio... non riesco a capire come determinare i due vettori costanti
\[\left[\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}\right] \qquad \left[\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}\right] \]
che costruiscono la soluzione.
Posto la mia soluzione.
Per prima cosa determino gli autovalori \(\lambda_{1,2}\) della matrice \(\mathbb{A}\). Trovo
\[\lambda_{1,2}=0\]
gli autovalori sono coincidenti (ossia si ha un solo autovalore \(\lambda\) di molteplicità algebrica doppia), dunque posso trovare solo una soluzione \(\mathbf{y}_1\) per l'EDO nella forma
\[\begin{split} \mathbf{y}_1 &=\mathbf{v}\exp(0x) \\ &=\mathbf{v} \end{split}\]
dove \(\mathbf{v}\) è un autovettore associato all'autovalore \(\lambda = 0\).
Con qualche conto trovo che gli autovettori associati a tale autovalore sono della forma
\[\mathbf{v}=k \left[\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}\right] \quad \forall k \in \mathbb{R}\]
quindi, per semplicità fissando \(k=1\), posso considerare come prima soluzione
\[ \mathbf{y}_1= \left[\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}\right] \]
Ora arrivano i problemi, o meglio le questioni dubbie. Riporto alla lettera quanto scritto al riguardo sulle dispense che sto seguendo
questo significa che \(\exp(x\mathbb{A})\mathbf{v}\) è soluzione dell'equazione \((1.133)\) [ossia la EDO dell'esercizio con \(\mathbb{A}\) generica, a coefficienti costanti, di ordine \(n\)] per ogni vettore costante \(\mathbf{v}\in\mathbb{R}^n\), poiché
\[\frac{\text{d}}{\text{d}x}[\exp(x\mathbb{A})\mathbf{v}]=\mathbb{A}[\exp(x\mathbb{A})\mathbf{v}]\]
Per trovare soluzioni aggiuntive prendiamo un autovalore \(\lambda\) di \(\mathbb{A}\) e cerchiamo tutti i vettori \(\mathbf{v}\) per i quali \((\mathbb{A}-\lambda \mathbb{I})^2\mathbf{v}=\mathbf{0}\), ma \((\mathbb{A}-\lambda \mathbb{I})\mathbf{v} \neq\mathbf{0}\) [\(\mathbb{I}\) è la matrice identica]. Per ciascuno di questi vettori la serie infinita [in riferimento allo sviluppo in serie della matrice esponenziale \(\exp(x\mathbb{A})\)] finisce dopo il secondo passo e per ciascuno di essi
\[\exp(x\mathbb{A}) \mathbf{v}=\exp(\lambda x)\exp[x(\mathbb{A}-\lambda \mathbb{I})]\mathbf{v}=\exp(\lambda x)[\mathbf{v}+x(\mathbb{A}-\lambda \mathbb{I})\mathbf{v}]\]
è una soluzione aggiuntiva di \((1.133)\).
Se non ho capito male, allora per trovare un'altra soluzione (linearmente indipendente da quella trovata sopra) dell'EDO in questione mi basta prendere un qualsiasi vettore costante \(\mathbf{v}\) che soddisfi l'equazione
\[(\mathbb{A}-\lambda \mathbb{I})^2\mathbf{v}=\mathbf{0}\]
che non sia un autovettore per \(\mathbb{A}\).
Essendo nel mio caso
\[\begin{split} \left(\left[\begin{matrix}4 & -2 \\ 8 & -4\end{matrix}\right]-0\mathbb{I}\right)^2 &=\left[\begin{matrix}4 & -2 \\ 8 & -4\end{matrix}\right]^2 \\
&= 0\mathbb{I} \end{split}\]
l'equazione \((\mathbb{A}-\lambda \mathbb{I})^2\mathbf{v}=\mathbf{0}\) è soddisfatta da qualsiasi vettore costante \(\mathbf{v} \in \mathbb{R}^2\), quindi, evitando gli autovettori, posso per esempio considerare \(\mathbf{v}=[1,1]^{\text{T}}\) e, conseguentemente, come soluzione aggiuntiva \(\mathbf{y}_2\) la funzione
\[\begin{split} \mathbf{y}_2 & = \exp(0x)\left\{\left[\begin{matrix}1 \\ 1\end{matrix}\right]+x \left (\left[\begin{matrix}4 & -2 \\ 8 & -4\end{matrix}\right]-0\mathbb{I} \right ) \left[\begin{matrix}1 \\ 1\end{matrix}\right]\right\} \\
&=\left[\begin{matrix}1+2x \\ 1+4x\end{matrix}\right] \end{split}\]
arrivo dunque a concludere che la soluzione generale dell'EDO è
\[\begin{split} \mathbf{y} &=C_1 \mathbf{y}_1+C_2 \mathbf{y}_2 \\ &=C_1\left[\begin{matrix}1 \\ 2\end{matrix}\right] +C_2 \left[\begin{matrix}1+2x \\ 1+4x\end{matrix}\right] \end{split}\]
Tirando le somme:
E' corretto quanto ho scritto? Se sì, è probabile che l'autore abbia fatto il mio stesso ragionamento semplicemente considerando, per \(\mathbf{y}_2\), come vettore costante \(\mathbf{v}=[0,1]^{\text{T}}\) invece che, come ho fatto io, \(\mathbf{v}=[1,1]^{\text{T}}\)?
Risposte
Carissimo Gost91, piacere di riincontratri, come va? Tutto ok? 
Per quel che può valere la mia opinione, direi che la tua soluzione sia corretta, in quanto quel tuo autovettore generalizzato soddisfa anche alla
\[(\mathbb{A}-\lambda \mathbb{I})\mathbf{v}\ne \mathbf{0}\]
Per quel che può valere la mia opinione, direi che la tua soluzione sia corretta, in quanto quel tuo autovettore generalizzato soddisfa anche alla
\[(\mathbb{A}-\lambda \mathbb{I})\mathbf{v}\ne \mathbf{0}\]
Grande Renzo! Come stai? Io tutto a posto grazie! 
Ti ringrazio per la risposta. Comunque in queste sere, nell'attesa, ho un po' riflettuto sulla questione e mi sono abbastanza convinto che sia tutto in regola. Riporto le conclusioni a cui sono arrivato.
In prima battuta ho pensato che necessariamente, se le due soluzioni dicono la stessa cosa, se si fissano delle condizioni inziali si deve ottenere una stessa soluzione particolare (per il teorema di unicità).
Ho dunque considerato
\[\mathbf{y}(0)=\left[\begin{matrix}1 \\ 1\end{matrix}\right]\]
per la soluzione dell'autore trovo
\[
\left.\begin{aligned}
C_1=\phantom{+}1\\
C_2=-1
\end{aligned}
\right\} \qquad \Rightarrow \qquad \mathbf{y}=\left[\begin{matrix}1+2x \\ 1+4x\end{matrix}\right]
\]
mentre per la soluzione trovata da me
\[
\left.\begin{aligned}
C_1=0\\
C_2=1
\end{aligned}
\right\} \qquad \Rightarrow \qquad \mathbf{y}=\left[\begin{matrix}1 +2x\\ 1+4x\end{matrix}\right]
\]
sembra dunque funzionare tutto.
Per chiudere la questione, ho pensato che la soluzione dell'autore è equivalente a quella trovata da me se (e solo se) lo spazio generato dai vettori \([1, 2]^{\text{T}}\),\([-2x,1-4x]^{\text{T}}\) [soluzione autore] è lo stesso di quello generato dai vettori \([1, 2]^{\text{T}}\),\( [1+2x,1+4x]^{\text{T}}\) [soluzione trovata da me].
In termini un po' più formali si tratterebbe dunque di dimostrare che
\[\text{span} \left\{ \left[\begin{matrix}1 \\ 2\end{matrix}\right], \left[\begin{matrix}-2x \\ 1-4x\end{matrix}\right]\right\}= \text{(?) } \text{span} \left\{ \left[\begin{matrix}1 \\ 2\end{matrix}\right], \left[\begin{matrix}1+2x \\ 1+4x\end{matrix}\right]\right\} \qquad \forall x \in \mathbb{R}\]
ad una prima occhiata mi sembra che sussista l'uguaglianza precedente, in quanto, stando ragionando in uno spazio di dimensione \(n=2\), si ha che fissando \(x\) si ottengono sempre (per entrambi i membri) coppie di vettori non paralleli.
Ti ringrazio per la risposta. Comunque in queste sere, nell'attesa, ho un po' riflettuto sulla questione e mi sono abbastanza convinto che sia tutto in regola. Riporto le conclusioni a cui sono arrivato.
In prima battuta ho pensato che necessariamente, se le due soluzioni dicono la stessa cosa, se si fissano delle condizioni inziali si deve ottenere una stessa soluzione particolare (per il teorema di unicità).
Ho dunque considerato
\[\mathbf{y}(0)=\left[\begin{matrix}1 \\ 1\end{matrix}\right]\]
per la soluzione dell'autore trovo
\[
\left.\begin{aligned}
C_1=\phantom{+}1\\
C_2=-1
\end{aligned}
\right\} \qquad \Rightarrow \qquad \mathbf{y}=\left[\begin{matrix}1+2x \\ 1+4x\end{matrix}\right]
\]
mentre per la soluzione trovata da me
\[
\left.\begin{aligned}
C_1=0\\
C_2=1
\end{aligned}
\right\} \qquad \Rightarrow \qquad \mathbf{y}=\left[\begin{matrix}1 +2x\\ 1+4x\end{matrix}\right]
\]
sembra dunque funzionare tutto.
Per chiudere la questione, ho pensato che la soluzione dell'autore è equivalente a quella trovata da me se (e solo se) lo spazio generato dai vettori \([1, 2]^{\text{T}}\),\([-2x,1-4x]^{\text{T}}\) [soluzione autore] è lo stesso di quello generato dai vettori \([1, 2]^{\text{T}}\),\( [1+2x,1+4x]^{\text{T}}\) [soluzione trovata da me].
In termini un po' più formali si tratterebbe dunque di dimostrare che
\[\text{span} \left\{ \left[\begin{matrix}1 \\ 2\end{matrix}\right], \left[\begin{matrix}-2x \\ 1-4x\end{matrix}\right]\right\}= \text{(?) } \text{span} \left\{ \left[\begin{matrix}1 \\ 2\end{matrix}\right], \left[\begin{matrix}1+2x \\ 1+4x\end{matrix}\right]\right\} \qquad \forall x \in \mathbb{R}\]
ad una prima occhiata mi sembra che sussista l'uguaglianza precedente, in quanto, stando ragionando in uno spazio di dimensione \(n=2\), si ha che fissando \(x\) si ottengono sempre (per entrambi i membri) coppie di vettori non paralleli.
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