EDO non lineare II ordine
È da un giorno intero che son bloccato su questa equazione:
\(\displaystyle y'' = -\frac{1}{y^3} \)
i calcoli si complicano terribilmente e mi ritrovo di fronte ad un integrale per me irrisolvibile.
Sapendo che
\(\displaystyle y'' = \frac{dy'}{dx} \frac{dy}{dy} = \frac{dy'}{dy} \frac{dy}{dx} = \frac{dy'}{dy} y'\)
allora
\(\displaystyle \int y' dy' = - \int \frac{dy}{y^3} \quad\rightarrow\quad \frac{(y')^2}{2} = \frac{-2}{y^2}+c_1 \quad\rightarrow\quad (y')^2 = \frac{-1}{y^2} + c_1 \quad\rightarrow\quad\)
\(\displaystyle \quad\rightarrow\quad y' = \pm \sqrt{c_1-\frac{1}{y^2}}=\pm\frac{1}{y}\sqrt{c_1y^2-1} \)
da cui
\(\displaystyle y = \pm \int dy\sqrt{c_1-\frac{1}{y^2}} \)
questo integrale ho provato a risolverlo in tutti i modi possibili che conosco ma niente, ho provato anche a considerare:
\(\displaystyle y = \pm\int\frac{dy}{y}\sqrt{c_1y^2-1} \)
ma è per me irrisolvibile!
\(\displaystyle y'' = -\frac{1}{y^3} \)
i calcoli si complicano terribilmente e mi ritrovo di fronte ad un integrale per me irrisolvibile.
Sapendo che
\(\displaystyle y'' = \frac{dy'}{dx} \frac{dy}{dy} = \frac{dy'}{dy} \frac{dy}{dx} = \frac{dy'}{dy} y'\)
allora
\(\displaystyle \int y' dy' = - \int \frac{dy}{y^3} \quad\rightarrow\quad \frac{(y')^2}{2} = \frac{-2}{y^2}+c_1 \quad\rightarrow\quad (y')^2 = \frac{-1}{y^2} + c_1 \quad\rightarrow\quad\)
\(\displaystyle \quad\rightarrow\quad y' = \pm \sqrt{c_1-\frac{1}{y^2}}=\pm\frac{1}{y}\sqrt{c_1y^2-1} \)
da cui
\(\displaystyle y = \pm \int dy\sqrt{c_1-\frac{1}{y^2}} \)
questo integrale ho provato a risolverlo in tutti i modi possibili che conosco ma niente, ho provato anche a considerare:
\(\displaystyle y = \pm\int\frac{dy}{y}\sqrt{c_1y^2-1} \)
ma è per me irrisolvibile!
Risposte
"lucamennoia":
È da un giorno intero che son bloccato su questa equazione:
\(\displaystyle y'' = -\frac{1}{y^3} \)
i calcoli si complicano terribilmente e mi ritrovo di fronte ad un integrale per me irrisolvibile.
Sapendo che
\(\displaystyle y'' = \frac{dy'}{dx} \frac{dy}{dy} = \frac{dy'}{dy} \frac{dy}{dx} = \frac{dy'}{dy} y'\)
allora
\(\displaystyle \int y' dy' = - \int \frac{dy}{y^3} \quad\rightarrow\quad \frac{(y')^2}{2} = \frac{-2}{y^2}+c_1 \quad\rightarrow\quad (y')^2 = \frac{-1}{y^2} + c_1 \quad\rightarrow\quad\)
\(\displaystyle \quad\rightarrow\quad y' = \pm \sqrt{c_1-\frac{1}{y^2}}=\pm\frac{1}{y}\sqrt{c_1y^2-1} \)
da cui
\(\displaystyle y = \pm \int dy\sqrt{c_1-\frac{1}{y^2}} \)
questo integrale ho provato a risolverlo in tutti i modi possibili che conosco ma niente, ho provato anche a considerare:
\(\displaystyle y = \pm\int\frac{dy}{y}\sqrt{c_1y^2-1} \)
ma è per me irrisolvibile!
Tutto ok fino al punto...
$y^{\ '} = \frac{dy}{dx} = \pm \frac{1}{y}\ \sqrt{c_{1}\ y^{2} -1}$ (1)
... e da qui si prosegue cosi'...
$dx = \pm \frac{y}{\sqrt{c_{1}\ y^{2} -1}}\ dy \implies x= \pm \frac{\sqrt{c_{1}\ y^{2}-1}}{c_{1}} + c_{2}$ (2)
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
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