EDO - meccanica razionale - problema

scteff
Ciao a tutti.
scrivo qui in analisi matematica, anche se il problema è di meccanica, poiché trattasi di una equazione differenziale del secondo ordine omogenea, in 3 dimensioni, che non riesco a capire da che parte prendere.
\(\displaystyle a(t) = \alpha v(t)\wedge i_3 \) con \(\displaystyle \alpha \neq 0, \alpha \in \mathbb{R} costante \).

lo svolgimento l'ho iniziato passando per il prodotto vettoriale che mi ha generato 3 equazioni,
\(\displaystyle \begin {cases} a_1(t)=\alpha v_2(t)\\\ddot x_2(t)=-\alpha v_1(t)\\a_3(t)=0 \end{cases}\)
a questo punto, banalmente ho interpretato la \(\displaystyle v_3 \) come EDO del secondo ordine che, date come condizioni iniziali generiche, l'ho calcolata come
\(\displaystyle x_3(t)= \dot x_{03}t + x_{03} \)
da qui in poi mi trovo in difficoltà poiché non capisco come gestire le altre due equazioni che interpreto come ED accoppiate.
buio totale.
qualcuno mi da una mano a capire da dove partire (poi a sbattere la testolina contro al muro sono ben bravo e capace :-)

grazie a tutti in anticipo !!
Stefano

Risposte
gugo82
Notazioni, please... Chi sono $a(t)$ e $v(t)$? Chi è $i_3$? E \(\land\)?

Da quanto scrivi, capisco che $a(t)=\ddot{x}(t)$... Beh, ma allora non dovrebbe essere pure $v(t)=\dot{x}(t)$ (in tutte le EDO scalari)?
Poi immagino che $i_3=(0,0,1)$ sia il terzo vettore del riferimento canonico e che \(\land\) sia il prodotto vettoriale di $\RR^3$.

Ad ogni buon conto, data l'interpretazione che ho proposto sopra, il prodotto vettoriale si scrive esplicitamente come:
\[
\alpha\ (\dot{x}_1(t), \dot{x}_2(t),\dot{x}_3(t)) \land (0,0,1) = \alpha\ (\dot{x}_2(t). - \dot{x}_1(t),0)
\]
dunque la tua EDO vettoriale diventa il sistema:
\[
\begin{cases}
\ddot{x}_1(t) = \alpha\ \dot{x}_2(t)\\
\ddot{x}_2(t) = -\alpha\ \dot{x}_1(t)\\
\ddot{x}_3(t) = 0
\end{cases}\; .
\]
La terza EDO ti dice semplicemente che $\dot{x}_3(t)$ è costante, cioè $\dot{x}_3(t)=v_3^0$ (in cui ho denotato con $v^0=(v_1^0,v_2^0,v_3^0)$ il vettore velocità iniziale \(\dot{x}(0)\)) e dunque anche \(x_3(t) = v_3^0 t +x_3^0\) (avendo indicato con $x^0=(x_1^0,x_2^0,x_3^0)$ la posizione iniziale $x(0)$). Quindi nella direzione di $i_3$ c'è moto rettilineo uniforme.
Sul piano $Oi_1i_2$, invece, il moto è governato dalle prime due EDO. Moltiplicando la prima EDO per \(2\dot{x}_1(t)\), la seconda per \(2\dot{x}_2(t)\) e sommando le due relazioni, trovi:
\[
2\ \ddot{x}_1(t)\ \dot{x}_1(t) + 2\ \ddot{x}_2(t)\ \dot{x}_2(t) = 0\; ,
\]
quindi, integrando membro a membro da $0$ a $t$ riconosci che:
\[
\dot{x}_1^2(t) + \dot{x}_2^2(t) = (v_1^0)^2 + (v_2^0)^2\; ,
\]
di modo che le due velocità \(\dot{x}_1(t)\) e \(\dot{x}_2(t)\) si comportano come componenti di un moto armonico con ampiezza $A=\sqrt{(v_1^0)^2 + (v_2^0)^2}$, cioè:
\[
\begin{cases}
\dot{x}_1(t) = A\ \cos(\omega t + \phi_0)\\
\dot{x}_2(t) = A\ \sin(\omega t + \phi_0)
\end{cases}
\]
con la pulsazione $\omega$ e la fase iniziale \(\phi_0\) da determinare.
La $\phi_0$ non è altro che l'anomalia del vettore $(v_1^0,v_2^0)$ nel piano $Oi_1i_2$ rispetto al polo $O$ ed all'asse polare $i_1$ positivo; per semplicità, possiamo assumere che $\phi_0=0$, ossia che $(v_1^0,v_2^0)$ sia parallelo e concorde con $i_1$, cioè che $v_1^0>0$ e $v_2^0=0$ (se non è così, possiamo sempre ruotare gli assi).
Per la pulsazione, osserva che derivando la prima EDO e usando la seconda si ottiene:
\[
x_1^{(3)} (t) + \alpha^2\ \dot{x}_1(t) =0
\]
da cui ricavi immediatamente che $\dot{x}_1(t)$ (e quindi anche $\dot{x}_2(t)$) ha pulsazione $\omega =\sqrt{\alpha^2}=|\alpha|$. Quindi integrando le precedenti formule per le velocità, trovi:
\[
\begin{cases}
x_1(t) = x_1^0 + \frac{v_1^0}{|\alpha|}\ \sin (|\alpha| t)\\
x_1(t) = x_2^0 + \frac{v_1^0}{|\alpha|}\ \left( 1 - \cos (|\alpha| t)\right)
\end{cases}\; .
\]
Mettendo insieme, il tuo moto è individuato da:
\[
\begin{cases}
x_1(t) = x_1^0 + \frac{v_1^0}{|\alpha|}\ \sin (|\alpha| t)\\
x_1(t) = x_2^0 + \frac{v_1^0}{|\alpha|} - \frac{v_1^0}{|\alpha|}\ \cos (|\alpha| t)\\
x_3(t) = x_3^0 + v_3^0\ t
\end{cases}
\]
cioè è un moto elicoidale.

scteff
\( \land \)Ciao e grazie per la risposta.
in seguito se non capisco qualcosa te la commento.
la risposta rapida per scusarmi della notazione.... ero preso da capire come buttar dentro i codici LaTeX poichè sono un po arrugginito.... :P
l'equazione iniziale doveva essere
\(\displaystyle \vec a(t) = \alpha\vec v(t) \land \vec i_3 \) con \(\displaystyle \vec i_3 \) un versore del sistema di riferimento \(\displaystyle O_{i_1,i_2,i_3} \)
e nel sistema, ho per refuso lasciato nella seconda equazione \(\displaystyle \ddot x_2(t) \) mentre dovevo sostituirla con \(\displaystyle a_2(t) \) come ho fatto nella prima.

grazie mille per la pronta risposta.

Stefano

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