EDO - meccanica razionale - problema
Ciao a tutti.
scrivo qui in analisi matematica, anche se il problema è di meccanica, poiché trattasi di una equazione differenziale del secondo ordine omogenea, in 3 dimensioni, che non riesco a capire da che parte prendere.
\(\displaystyle a(t) = \alpha v(t)\wedge i_3 \) con \(\displaystyle \alpha \neq 0, \alpha \in \mathbb{R} costante \).
lo svolgimento l'ho iniziato passando per il prodotto vettoriale che mi ha generato 3 equazioni,
\(\displaystyle \begin {cases} a_1(t)=\alpha v_2(t)\\\ddot x_2(t)=-\alpha v_1(t)\\a_3(t)=0 \end{cases}\)
a questo punto, banalmente ho interpretato la \(\displaystyle v_3 \) come EDO del secondo ordine che, date come condizioni iniziali generiche, l'ho calcolata come
\(\displaystyle x_3(t)= \dot x_{03}t + x_{03} \)
da qui in poi mi trovo in difficoltà poiché non capisco come gestire le altre due equazioni che interpreto come ED accoppiate.
buio totale.
qualcuno mi da una mano a capire da dove partire (poi a sbattere la testolina contro al muro sono ben bravo e capace
grazie a tutti in anticipo !!
Stefano
scrivo qui in analisi matematica, anche se il problema è di meccanica, poiché trattasi di una equazione differenziale del secondo ordine omogenea, in 3 dimensioni, che non riesco a capire da che parte prendere.
\(\displaystyle a(t) = \alpha v(t)\wedge i_3 \) con \(\displaystyle \alpha \neq 0, \alpha \in \mathbb{R} costante \).
lo svolgimento l'ho iniziato passando per il prodotto vettoriale che mi ha generato 3 equazioni,
\(\displaystyle \begin {cases} a_1(t)=\alpha v_2(t)\\\ddot x_2(t)=-\alpha v_1(t)\\a_3(t)=0 \end{cases}\)
a questo punto, banalmente ho interpretato la \(\displaystyle v_3 \) come EDO del secondo ordine che, date come condizioni iniziali generiche, l'ho calcolata come
\(\displaystyle x_3(t)= \dot x_{03}t + x_{03} \)
da qui in poi mi trovo in difficoltà poiché non capisco come gestire le altre due equazioni che interpreto come ED accoppiate.
buio totale.
qualcuno mi da una mano a capire da dove partire (poi a sbattere la testolina contro al muro sono ben bravo e capace
grazie a tutti in anticipo !!
Stefano
Risposte
Notazioni, please... Chi sono $a(t)$ e $v(t)$? Chi è $i_3$? E \(\land\)?
Da quanto scrivi, capisco che $a(t)=\ddot{x}(t)$... Beh, ma allora non dovrebbe essere pure $v(t)=\dot{x}(t)$ (in tutte le EDO scalari)?
Poi immagino che $i_3=(0,0,1)$ sia il terzo vettore del riferimento canonico e che \(\land\) sia il prodotto vettoriale di $\RR^3$.
Ad ogni buon conto, data l'interpretazione che ho proposto sopra, il prodotto vettoriale si scrive esplicitamente come:
\[
\alpha\ (\dot{x}_1(t), \dot{x}_2(t),\dot{x}_3(t)) \land (0,0,1) = \alpha\ (\dot{x}_2(t). - \dot{x}_1(t),0)
\]
dunque la tua EDO vettoriale diventa il sistema:
\[
\begin{cases}
\ddot{x}_1(t) = \alpha\ \dot{x}_2(t)\\
\ddot{x}_2(t) = -\alpha\ \dot{x}_1(t)\\
\ddot{x}_3(t) = 0
\end{cases}\; .
\]
La terza EDO ti dice semplicemente che $\dot{x}_3(t)$ è costante, cioè $\dot{x}_3(t)=v_3^0$ (in cui ho denotato con $v^0=(v_1^0,v_2^0,v_3^0)$ il vettore velocità iniziale \(\dot{x}(0)\)) e dunque anche \(x_3(t) = v_3^0 t +x_3^0\) (avendo indicato con $x^0=(x_1^0,x_2^0,x_3^0)$ la posizione iniziale $x(0)$). Quindi nella direzione di $i_3$ c'è moto rettilineo uniforme.
Sul piano $Oi_1i_2$, invece, il moto è governato dalle prime due EDO. Moltiplicando la prima EDO per \(2\dot{x}_1(t)\), la seconda per \(2\dot{x}_2(t)\) e sommando le due relazioni, trovi:
\[
2\ \ddot{x}_1(t)\ \dot{x}_1(t) + 2\ \ddot{x}_2(t)\ \dot{x}_2(t) = 0\; ,
\]
quindi, integrando membro a membro da $0$ a $t$ riconosci che:
\[
\dot{x}_1^2(t) + \dot{x}_2^2(t) = (v_1^0)^2 + (v_2^0)^2\; ,
\]
di modo che le due velocità \(\dot{x}_1(t)\) e \(\dot{x}_2(t)\) si comportano come componenti di un moto armonico con ampiezza $A=\sqrt{(v_1^0)^2 + (v_2^0)^2}$, cioè:
\[
\begin{cases}
\dot{x}_1(t) = A\ \cos(\omega t + \phi_0)\\
\dot{x}_2(t) = A\ \sin(\omega t + \phi_0)
\end{cases}
\]
con la pulsazione $\omega$ e la fase iniziale \(\phi_0\) da determinare.
La $\phi_0$ non è altro che l'anomalia del vettore $(v_1^0,v_2^0)$ nel piano $Oi_1i_2$ rispetto al polo $O$ ed all'asse polare $i_1$ positivo; per semplicità, possiamo assumere che $\phi_0=0$, ossia che $(v_1^0,v_2^0)$ sia parallelo e concorde con $i_1$, cioè che $v_1^0>0$ e $v_2^0=0$ (se non è così, possiamo sempre ruotare gli assi).
Per la pulsazione, osserva che derivando la prima EDO e usando la seconda si ottiene:
\[
x_1^{(3)} (t) + \alpha^2\ \dot{x}_1(t) =0
\]
da cui ricavi immediatamente che $\dot{x}_1(t)$ (e quindi anche $\dot{x}_2(t)$) ha pulsazione $\omega =\sqrt{\alpha^2}=|\alpha|$. Quindi integrando le precedenti formule per le velocità, trovi:
\[
\begin{cases}
x_1(t) = x_1^0 + \frac{v_1^0}{|\alpha|}\ \sin (|\alpha| t)\\
x_1(t) = x_2^0 + \frac{v_1^0}{|\alpha|}\ \left( 1 - \cos (|\alpha| t)\right)
\end{cases}\; .
\]
Mettendo insieme, il tuo moto è individuato da:
\[
\begin{cases}
x_1(t) = x_1^0 + \frac{v_1^0}{|\alpha|}\ \sin (|\alpha| t)\\
x_1(t) = x_2^0 + \frac{v_1^0}{|\alpha|} - \frac{v_1^0}{|\alpha|}\ \cos (|\alpha| t)\\
x_3(t) = x_3^0 + v_3^0\ t
\end{cases}
\]
cioè è un moto elicoidale.
Da quanto scrivi, capisco che $a(t)=\ddot{x}(t)$... Beh, ma allora non dovrebbe essere pure $v(t)=\dot{x}(t)$ (in tutte le EDO scalari)?
Poi immagino che $i_3=(0,0,1)$ sia il terzo vettore del riferimento canonico e che \(\land\) sia il prodotto vettoriale di $\RR^3$.
Ad ogni buon conto, data l'interpretazione che ho proposto sopra, il prodotto vettoriale si scrive esplicitamente come:
\[
\alpha\ (\dot{x}_1(t), \dot{x}_2(t),\dot{x}_3(t)) \land (0,0,1) = \alpha\ (\dot{x}_2(t). - \dot{x}_1(t),0)
\]
dunque la tua EDO vettoriale diventa il sistema:
\[
\begin{cases}
\ddot{x}_1(t) = \alpha\ \dot{x}_2(t)\\
\ddot{x}_2(t) = -\alpha\ \dot{x}_1(t)\\
\ddot{x}_3(t) = 0
\end{cases}\; .
\]
La terza EDO ti dice semplicemente che $\dot{x}_3(t)$ è costante, cioè $\dot{x}_3(t)=v_3^0$ (in cui ho denotato con $v^0=(v_1^0,v_2^0,v_3^0)$ il vettore velocità iniziale \(\dot{x}(0)\)) e dunque anche \(x_3(t) = v_3^0 t +x_3^0\) (avendo indicato con $x^0=(x_1^0,x_2^0,x_3^0)$ la posizione iniziale $x(0)$). Quindi nella direzione di $i_3$ c'è moto rettilineo uniforme.
Sul piano $Oi_1i_2$, invece, il moto è governato dalle prime due EDO. Moltiplicando la prima EDO per \(2\dot{x}_1(t)\), la seconda per \(2\dot{x}_2(t)\) e sommando le due relazioni, trovi:
\[
2\ \ddot{x}_1(t)\ \dot{x}_1(t) + 2\ \ddot{x}_2(t)\ \dot{x}_2(t) = 0\; ,
\]
quindi, integrando membro a membro da $0$ a $t$ riconosci che:
\[
\dot{x}_1^2(t) + \dot{x}_2^2(t) = (v_1^0)^2 + (v_2^0)^2\; ,
\]
di modo che le due velocità \(\dot{x}_1(t)\) e \(\dot{x}_2(t)\) si comportano come componenti di un moto armonico con ampiezza $A=\sqrt{(v_1^0)^2 + (v_2^0)^2}$, cioè:
\[
\begin{cases}
\dot{x}_1(t) = A\ \cos(\omega t + \phi_0)\\
\dot{x}_2(t) = A\ \sin(\omega t + \phi_0)
\end{cases}
\]
con la pulsazione $\omega$ e la fase iniziale \(\phi_0\) da determinare.
La $\phi_0$ non è altro che l'anomalia del vettore $(v_1^0,v_2^0)$ nel piano $Oi_1i_2$ rispetto al polo $O$ ed all'asse polare $i_1$ positivo; per semplicità, possiamo assumere che $\phi_0=0$, ossia che $(v_1^0,v_2^0)$ sia parallelo e concorde con $i_1$, cioè che $v_1^0>0$ e $v_2^0=0$ (se non è così, possiamo sempre ruotare gli assi).
Per la pulsazione, osserva che derivando la prima EDO e usando la seconda si ottiene:
\[
x_1^{(3)} (t) + \alpha^2\ \dot{x}_1(t) =0
\]
da cui ricavi immediatamente che $\dot{x}_1(t)$ (e quindi anche $\dot{x}_2(t)$) ha pulsazione $\omega =\sqrt{\alpha^2}=|\alpha|$. Quindi integrando le precedenti formule per le velocità, trovi:
\[
\begin{cases}
x_1(t) = x_1^0 + \frac{v_1^0}{|\alpha|}\ \sin (|\alpha| t)\\
x_1(t) = x_2^0 + \frac{v_1^0}{|\alpha|}\ \left( 1 - \cos (|\alpha| t)\right)
\end{cases}\; .
\]
Mettendo insieme, il tuo moto è individuato da:
\[
\begin{cases}
x_1(t) = x_1^0 + \frac{v_1^0}{|\alpha|}\ \sin (|\alpha| t)\\
x_1(t) = x_2^0 + \frac{v_1^0}{|\alpha|} - \frac{v_1^0}{|\alpha|}\ \cos (|\alpha| t)\\
x_3(t) = x_3^0 + v_3^0\ t
\end{cases}
\]
cioè è un moto elicoidale.
\( \land \)Ciao e grazie per la risposta.
in seguito se non capisco qualcosa te la commento.
la risposta rapida per scusarmi della notazione.... ero preso da capire come buttar dentro i codici LaTeX poichè sono un po arrugginito....
l'equazione iniziale doveva essere
\(\displaystyle \vec a(t) = \alpha\vec v(t) \land \vec i_3 \) con \(\displaystyle \vec i_3 \) un versore del sistema di riferimento \(\displaystyle O_{i_1,i_2,i_3} \)
e nel sistema, ho per refuso lasciato nella seconda equazione \(\displaystyle \ddot x_2(t) \) mentre dovevo sostituirla con \(\displaystyle a_2(t) \) come ho fatto nella prima.
grazie mille per la pronta risposta.
Stefano
in seguito se non capisco qualcosa te la commento.
la risposta rapida per scusarmi della notazione.... ero preso da capire come buttar dentro i codici LaTeX poichè sono un po arrugginito....
l'equazione iniziale doveva essere
\(\displaystyle \vec a(t) = \alpha\vec v(t) \land \vec i_3 \) con \(\displaystyle \vec i_3 \) un versore del sistema di riferimento \(\displaystyle O_{i_1,i_2,i_3} \)
e nel sistema, ho per refuso lasciato nella seconda equazione \(\displaystyle \ddot x_2(t) \) mentre dovevo sostituirla con \(\displaystyle a_2(t) \) come ho fatto nella prima.
grazie mille per la pronta risposta.
Stefano
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