EDO e periodicità
Direttamente dal test SNS 2015:
Sia $f:\mathbb{R}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ una funzione $\mathcal{C}^1$ tale che $f(0,t)\leq 0\leq f(1,t)$ per ogni $t\in\mathbb{R}$. Se $f$ è periodica di periodo $T$ nella prima variabile, cioè $f(t+T,x)=f(t,x)$ per ogni $(t,x)$, provare che
$$
u'(t)=f(t,u(t))
$$
ammette una soluzione $\overline{u}(t)$ $T-$periodica con $0\leq u(t)\leq 1$.
C'ho pensato a lungo ma sinceramente non vedo da dove iniziare.
Sia $f:\mathbb{R}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ una funzione $\mathcal{C}^1$ tale che $f(0,t)\leq 0\leq f(1,t)$ per ogni $t\in\mathbb{R}$. Se $f$ è periodica di periodo $T$ nella prima variabile, cioè $f(t+T,x)=f(t,x)$ per ogni $(t,x)$, provare che
$$
u'(t)=f(t,u(t))
$$
ammette una soluzione $\overline{u}(t)$ $T-$periodica con $0\leq u(t)\leq 1$.
C'ho pensato a lungo ma sinceramente non vedo da dove iniziare.
Risposte
"Nulier":
Direttamente dal test SNS 2015:
Sia $f:\mathbb{R}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ una funzione $\mathcal{C}^1$ tale che $f(0,t)\leq 0\leq f(1,t)$ per ogni $t\in\mathbb{R}$. Se $f$ è periodica di periodo $T$ nella prima variabile, cioè $f(t+T,x)=f(t,x)$ per ogni $(t,x)$, provare che
$$
u'(t)=f(t,u(t))
$$
ammette una soluzione $\overline{u}(t)$ $T-$periodica con $0\leq u(t)\leq 1$.
Immagino che la prima condizione sia \(f(t,0) \leq 0 \leq f(t,1)\) per ogni \(t\).
Per ogni \(\alpha \in [0,1]\) indica con \(u_\alpha\) la soluzione, in \([0,T]\), del problema di Cauchy
\[
\begin{cases}
u' = f(t, u),\\
u(T) = \alpha.
\end{cases}
\]
Dimostra che \(0\leq u_\alpha(t) \leq 1\) per ogni \(t\in [0,T]\).
Considera l'applicazione (continua) \( [0,1]\ni\alpha \mapsto u_\alpha(0)\) e vedi di ragionarci un po' sopra. (In particolare, cosa succede se questa applicazione ha un punto fisso?)
Per la prima parte farei così: sia $\alpha\in (0,1)$. Supponiamo per assurdo che $\exists t^{\ast}\in [0,T)$ tale che $u_{\alpha}(t^{\ast})>1$.
Definiamo $\beta:=$sup$\{t\in(t^{\ast},T]| u(t)\geq1 \forall t\in (t^{\ast},t)\}$. Per continuità si ha $u(\beta)=1$. Allora
$$
u_{\alpha}'(\beta)=f(\beta,1)\geq 0
$$
Pertanto $u_{\alpha}$ è non decrescente in un intorno destro di $\beta$. Ma questo implica che $\beta=T$, cioè $u_{\alpha}(T)=1\ne \alpha$ - Assurdo.
Nel caso di $u_{1}$, però, lo stesso ragionamento non mi esclude che la soluzione arrivi "da fuori" e poi si adagi su $1$ se $f(t,1)$ è $0$ da un certo $t*$ fino a $T$, no?
(La dimostrazione che sta sopra $0$ è analoga e pone lo stesso interrogativo per il caso $\alpha=0$)
Definiamo $\beta:=$sup$\{t\in(t^{\ast},T]| u(t)\geq1 \forall t\in (t^{\ast},t)\}$. Per continuità si ha $u(\beta)=1$. Allora
$$
u_{\alpha}'(\beta)=f(\beta,1)\geq 0
$$
Pertanto $u_{\alpha}$ è non decrescente in un intorno destro di $\beta$. Ma questo implica che $\beta=T$, cioè $u_{\alpha}(T)=1\ne \alpha$ - Assurdo.
Nel caso di $u_{1}$, però, lo stesso ragionamento non mi esclude che la soluzione arrivi "da fuori" e poi si adagi su $1$ se $f(t,1)$ è $0$ da un certo $t*$ fino a $T$, no?
(La dimostrazione che sta sopra $0$ è analoga e pone lo stesso interrogativo per il caso $\alpha=0$)
Per risolvere i casi $\alpha=0,1$ si può ragionare così: per la continuità di $g(\alpha)=u_{\alpha}(0)$, si ha che
$$
\lim_{\alpha\to 1}u_{\alpha}(0)=u_{1}(0)
$$
Visto che $u_{\alpha}(0)\in [0,1]$ per ogni $\alpha\in (0,1)$ abbiamo per la compattezza per successioni di $[0,1]$ che $u_1(0)\in[0,1]$.
Analogo il caso $\alpha=0$.
A questo punto osserviamo che $g(0)=u_0(0)\geq 0$ e che $g(1)=u_1(1)-1\leq 0$. Allora o $g(0)=0$ o $g(1)=0$ oppure per il teorema di esistenza degli zeri abbiamo un $\xi$ tale che $g(\xi)=0$ cioè $u_{\xi}(0)=u_{\xi}(1)$.
$u_{\xi}$ è la nostra soluzione periodica.
Sensato?
$$
\lim_{\alpha\to 1}u_{\alpha}(0)=u_{1}(0)
$$
Visto che $u_{\alpha}(0)\in [0,1]$ per ogni $\alpha\in (0,1)$ abbiamo per la compattezza per successioni di $[0,1]$ che $u_1(0)\in[0,1]$.
Analogo il caso $\alpha=0$.
A questo punto osserviamo che $g(0)=u_0(0)\geq 0$ e che $g(1)=u_1(1)-1\leq 0$. Allora o $g(0)=0$ o $g(1)=0$ oppure per il teorema di esistenza degli zeri abbiamo un $\xi$ tale che $g(\xi)=0$ cioè $u_{\xi}(0)=u_{\xi}(1)$.
$u_{\xi}$ è la nostra soluzione periodica.
Sensato?
"Nulier":
A questo punto osserviamo che $g(0)=u_0(0)\geq 0$ e che $g(1)=u_1(1)-1\leq 0$. Allora o $g(0)=0$ o $g(1)=0$ oppure per il teorema di esistenza degli zeri abbiamo un $\xi$ tale che $g(\xi)=0$ cioè $u_{\xi}(0)=u_{\xi}(1)$.
$u_{\xi}$ è la nostra soluzione periodica.
Sensato?
C'è qualche imprecisione, mi sembra, nella definizione di \(g\).
Comunque, se definisci \(g(\alpha) := u_\alpha(0) - \alpha\), hai che \(g\) è continua in \([0,1]\) e cambia segno agli estremi, dunque ammette uno zero.
Ho fatto un mix copiando dagli appunti 
Infatti con $g$ la seconda volta intendevo $u_{\alpha}(0)-\alpha$.
Infatti con $g$ la seconda volta intendevo $u_{\alpha}(0)-\alpha$.
Se fosse \(u_{\alpha}'(\beta)=f(\beta,1)=0\) cosa assicura che \(u_{\alpha}\) non decresca in un intorno destro di \(\beta\)?
Niente 
Il principio è che le soluzioni non possono entrare nell'intervallo $[0,1]$ ma possono uscirne.
Il principio è che le soluzioni non possono entrare nell'intervallo $[0,1]$ ma possono uscirne.
Scusa ma continuo a non capire questa parte
P.S. Ho corretto un errore nel mio precedente messaggio.
"Nulier":
Allora
$$
u_{\alpha}'(\beta)=f(\beta,1)\geq 0
$$
Pertanto $u_{\alpha}$ è non decrescente in un intorno destro di $\beta$.
P.S. Ho corretto un errore nel mio precedente messaggio.
Dici che potrebbe trattarsi di un flesso e quindi non garantirlo?
A priori sì, non vedo come escludere che sia un flesso.
L'argomento ovviamente funziona senza problemi se si suppone \(f(t,0) < 0 < f(t,1)\) per ogni \(t\).
Quando le disuguaglianze non sono strette, ci si può ricondurre a questo caso considerando ad esempio le perturbazioni
\[
f_{\epsilon}(t,x) := f(t,x) + \epsilon (2x - 1).
\]
Per questo campo, le soluzioni con dato \(u(T) \in [0,1]\) rimangono a valori in \([0,1]\).
D'altra parte, c'è convergenza uniforme delle soluzioni di un fissato problema di Cauchy in \([0,T]\) quanto \(\epsilon \to 0\).
Quando le disuguaglianze non sono strette, ci si può ricondurre a questo caso considerando ad esempio le perturbazioni
\[
f_{\epsilon}(t,x) := f(t,x) + \epsilon (2x - 1).
\]
Per questo campo, le soluzioni con dato \(u(T) \in [0,1]\) rimangono a valori in \([0,1]\).
D'altra parte, c'è convergenza uniforme delle soluzioni di un fissato problema di Cauchy in \([0,T]\) quanto \(\epsilon \to 0\).
"Rigel":
D'altra parte, c'è convergenza uniforme delle soluzioni di un fissato problema di Cauchy in \([0,T]\) quanto \(\epsilon \to 0\).
Non riesco a capire questa parte, c'è sotto qualche teorema?
"_fabricius_":
[quote="Rigel"]
D'altra parte, c'è convergenza uniforme delle soluzioni di un fissato problema di Cauchy in \([0,T]\) quanto \(\epsilon \to 0\).
Non riesco a capire questa parte, c'è sotto qualche teorema?[/quote]
Sì, è la proprietà di stabilità che puoi trovare ad esempio nel libro di Jack Hale, Lemma 3.1.
Grosso modo, se \(f_n \to f\) uniformemente sui compatti, se \((t_n, x_n) \to (t_0, x_0)\) e se il PdC \(x' = f(t,x)\), \(x(t_0) = x_0\) ha soluzione unica \(u_0\) in \([0,T]\), allora le soluzioni dei PdC \(x' = f_n(t,x)\), \(x(t_n) = x_n\) per \(n\) abbastanza grande sono definite (almeno) in \([0,T]\) e convergono uniformemente a \(u_0\) in \([0,T]\).
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