[EDO] Dipendenza continua delle soluzioni dai dati iniziali
Ciao a tutti..
Ho aperto il topic perchè volevo chiedere se qualcuno aveva una dimostrazione dettagliata di questo teorema?
Grazie.
Ho aperto il topic perchè volevo chiedere se qualcuno aveva una dimostrazione dettagliata di questo teorema?
Grazie.
Risposte
Qui ci sono dei miei appunti in merito (usano il lemma di Gronwall):
http://www.diptem.unige.it/patrone/equa ... i_dati.pdf
http://www.diptem.unige.it/patrone/equa ... i_dati.pdf
Ad occhio e croce è la stessa dimostrazione che ho studiato in Fisica Matematica II... Mi fa piacere che FP abbia postato, anche perchè mi sarebbe stato difficile sia scansionare i miei appunti ed hostarli da qualche parte sia trascriverli parola per parola. 
Ad ogni modo, domani mattina cerco i miei appunti e casomai fornisco altro materiale.
Ad ogni modo, domani mattina cerco i miei appunti e casomai fornisco altro materiale.
Grazie per il materiale però avrei un'altra domanda.
In realtà avevo già una dimostrazione del teorema solo che non riuscivo a capire un passaggio:
La dimostrazione che ho io è questa:
Teorema
Sia f : h x I ==> R^n continua e localmente Lip.in y uniformemente in t. Siano ( y1, t0 ), ( y2, t0 ) appartenenti a h x I. Supponiamo di avere 2 soluzioni locali S1 e S2 dei problemi, rispettivamente
| y’ = f ( y, t ) | y’ = f ( y, t )
| y( t0 ) = y1 | y( t0 ) = y2
Supponiamo infine che S1 e S2 siano entrambe definite su Io = [ t0 – o, t0 + o] per qualche o > 0.
Allora esiste K = K ( f, (t0, y0)) > 0 tale che
|| S1(t) – S2 (t) || <= ( e^(2ko) )* || y1 – y2 || per ogni t appartenente a Io
Dimostrazione ( con n=1 )
Osserviamo che
| Si’(t) = f( Si(t),t )
| Si( t0 ) = yi con i= 1,2 i è il pedice
Si(t) = yi + (integrale da t0 a t)[f( Si(q),q )dq]
Faccio la differenza membro a membro
( S1 – S2)(t) = y1 – y2 + (integrale da t0 a t)[ ( f( S1(q),q ) - f( S2(q),q ) )dq]
Posto
Mi = max|Si(t)| t appartenente a Io
Avremo che ( Si(q),q ) appartiene a [-Mi , Mi ] x Io t appartiene a Io
Poniamo M = max { M1, M2 }
Supponendo che esista una e una sola soluzione per ogni problema di Cauchy possiamo dire che
esiste un intorno Bi di ( yi, t0 ) e un Ki tale che
| f( y1, t ) – f ( y2, t ) | <= Ki*| y1 – y2 | per ogni ( yi , t ) appartenenti a Bi
A questo punto possiamo trovare un K e un insieme B che contiene ( y1, t) e ( y2, t) tale che
| f( y1, t ) – f ( y2, t ) | <= K*| y1 – y2 | per ogni ( y1, t) e ( y2, t) appartenenti a B
Si prosegue nella dimostrazione e applicando il Lemma di Gronwall si dimostra il teorema.
La mia domanda è : come si giustifica il passaggio in rosso ?
Ovvero, come si dimostra che si può trovare un unico K e un insieme B che contiene tutti e 2 i punti ?
Grazie e scusate se sono stato poco chiaro con il linguaggio.
In realtà avevo già una dimostrazione del teorema solo che non riuscivo a capire un passaggio:
La dimostrazione che ho io è questa:
Teorema
Sia f : h x I ==> R^n continua e localmente Lip.in y uniformemente in t. Siano ( y1, t0 ), ( y2, t0 ) appartenenti a h x I. Supponiamo di avere 2 soluzioni locali S1 e S2 dei problemi, rispettivamente
| y’ = f ( y, t ) | y’ = f ( y, t )
| y( t0 ) = y1 | y( t0 ) = y2
Supponiamo infine che S1 e S2 siano entrambe definite su Io = [ t0 – o, t0 + o] per qualche o > 0.
Allora esiste K = K ( f, (t0, y0)) > 0 tale che
|| S1(t) – S2 (t) || <= ( e^(2ko) )* || y1 – y2 || per ogni t appartenente a Io
Dimostrazione ( con n=1 )
Osserviamo che
| Si’(t) = f( Si(t),t )
| Si( t0 ) = yi con i= 1,2 i è il pedice
Si(t) = yi + (integrale da t0 a t)[f( Si(q),q )dq]
Faccio la differenza membro a membro
( S1 – S2)(t) = y1 – y2 + (integrale da t0 a t)[ ( f( S1(q),q ) - f( S2(q),q ) )dq]
Posto
Mi = max|Si(t)| t appartenente a Io
Avremo che ( Si(q),q ) appartiene a [-Mi , Mi ] x Io t appartiene a Io
Poniamo M = max { M1, M2 }
Supponendo che esista una e una sola soluzione per ogni problema di Cauchy possiamo dire che
esiste un intorno Bi di ( yi, t0 ) e un Ki tale che
| f( y1, t ) – f ( y2, t ) | <= Ki*| y1 – y2 | per ogni ( yi , t ) appartenenti a Bi
A questo punto possiamo trovare un K e un insieme B che contiene ( y1, t) e ( y2, t) tale che
| f( y1, t ) – f ( y2, t ) | <= K*| y1 – y2 | per ogni ( y1, t) e ( y2, t) appartenenti a B
Si prosegue nella dimostrazione e applicando il Lemma di Gronwall si dimostra il teorema.
La mia domanda è : come si giustifica il passaggio in rosso ?
Ovvero, come si dimostra che si può trovare un unico K e un insieme B che contiene tutti e 2 i punti ?
Grazie e scusate se sono stato poco chiaro con il linguaggio.
"Clear":
Supponendo che esista una e una sola soluzione per ogni problema di Cauchy possiamo dire che
esiste un intorno Bi di ( yi, t0 ) e un Ki tale che
| f( y1, t ) – f ( y2, t ) | <= Ki*| y1 – y2 | per ogni ( yi , t ) appartenenti a Bi
A questo punto possiamo trovare un K e un insieme B che contiene ( y1, t) e ( y2, t) tale che
| f( y1, t ) – f ( y2, t ) | <= K*| y1 – y2 | per ogni ( y1, t) e ( y2, t) appartenenti a B
Si prosegue nella dimostrazione e applicando il Lemma di Gronwall si dimostra il teorema.
Non capisco a cosa serva citare l'unicità della soluzione.
A meno che, quando scrivi:
$| f( y_1, t ) – f ( y_2, t ) | <= K_i | y_1 – y_2 |$ per ogni $( y_i , t )$ appartenenti a $B_i$
tu non intenda:
$| f( y_1(t), t ) – f ( y_2(t), t ) | <= K_i | y_1(t) – y_2(t) |$ per ogni $t$ appartenenti a...
PS: dovesti usare MathML, le formule scritte così sono fastidiose.
"Fioravante Patrone":
[quote="Clear"]
Supponendo che esista una e una sola soluzione per ogni problema di Cauchy possiamo dire che
esiste un intorno Bi di ( yi, t0 ) e un Ki tale che
| f( y1, t ) – f ( y2, t ) | <= Ki*| y1 – y2 | per ogni ( yi , t ) appartenenti a Bi
A questo punto possiamo trovare un K e un insieme B che contiene ( y1, t) e ( y2, t) tale che
| f( y1, t ) – f ( y2, t ) | <= K*| y1 – y2 | per ogni ( y1, t) e ( y2, t) appartenenti a B
Si prosegue nella dimostrazione e applicando il Lemma di Gronwall si dimostra il teorema.
Non capisco a cosa serva citare l'unicità della soluzione.
A meno che, quando scrivi:
$| f( y_1, t ) – f ( y_2, t ) | <= K_i | y_1 – y_2 |$ per ogni $( y_i , t )$ appartenenti a $B_i$
tu non intenda:
$| f( y_1(t), t ) – f ( y_2(t), t ) | <= K_i | y_1(t) – y_2(t) |$ per ogni $t$ appartenenti a...
PS: dovesti usare MathML, le formule scritte così sono fastidiose.[/quote]
Si intendevo quello.
Mi scuso ma ho saputo dopo di MathML
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