EDO del secondo ordine a coeff costanti, domanda teorica
Salve a tutti,
ho un dubbio a cui non riesco a trovare risposta:
Su tutti i libri che ho consultato, quando si parla di risolvere un'equazione differenziale del 2 ordine del tipo: [tex]y''+ay'+by=0[/tex], c'è scritto: "l'idea generale è cercare una soluzione del tipo [tex]e^{\lambda x}[/tex] eccetera eccetera"
Ma esistono soluzioni che non siano esprimibili mediante esponenziali?
ho un dubbio a cui non riesco a trovare risposta:
Su tutti i libri che ho consultato, quando si parla di risolvere un'equazione differenziale del 2 ordine del tipo: [tex]y''+ay'+by=0[/tex], c'è scritto: "l'idea generale è cercare una soluzione del tipo [tex]e^{\lambda x}[/tex] eccetera eccetera"
Ma esistono soluzioni che non siano esprimibili mediante esponenziali?
Risposte
l'idea generale è quella perchè ad essa è associata l'equazione $lambda^2+alambda+b=0$ che però può avere anche soluzioni non reali
es: $y''+y=0$ ha come soluzione generale
$y=c_1cosx+c_2senx$
es: $y''+y=0$ ha come soluzione generale
$y=c_1cosx+c_2senx$
ma l'equazione caratteristica è una conseguenza del fatto che prendo [tex]y(x)=e^{\lambda x}[/tex].. se non la prendessi, non avrei quell'equazione...
ma potrei prendere un'altra y(x) (non ho idea di che forma potrebbe avere) e ottenere (ammesso che esistesse un metodo per arrivarci, ma ora non è questo che mi importa) comunque una soluzione dell'equazione differenziale?
ma potrei prendere un'altra y(x) (non ho idea di che forma potrebbe avere) e ottenere (ammesso che esistesse un metodo per arrivarci, ma ora non è questo che mi importa) comunque una soluzione dell'equazione differenziale?
non sono a conoscenza di un altro metodo
questo di $y=e^(lambdax)$ mi sembra abbastanza consolidato
questo di $y=e^(lambdax)$ mi sembra abbastanza consolidato
no ma hai ragione! ma io non mi stavo occupando della possibilità concreta di avere un altro metodo.. mi chiedevo solo se esistessero soluzioni di un altro tipo..... così, per curiosità! 
la tua è una curiosità legittima
ripeto,non conosco altre strade ma non mi sento di escluderle(anche se ritengo improbabile che ce ne siano)
ripeto,non conosco altre strade ma non mi sento di escluderle(anche se ritengo improbabile che ce ne siano)
"Trin":
Salve a tutti,
ho un dubbio a cui non riesco a trovare risposta:
Su tutti i libri che ho consultato, quando si parla di risolvere un'equazione differenziale del 2 ordine del tipo: [tex]y''+ay'+by=0[/tex], c'è scritto: "l'idea generale è cercare una soluzione del tipo [tex]e^{\lambda x}[/tex] eccetera eccetera"
Ma esistono soluzioni che non siano esprimibili mediante esponenziali?
Ciao...probabilmente ti manca qualche pezzo di teoria...immagino che il discorso sia stato confinato a ordine 2...il che limita le soluzioni ad essere di un tipo abbastanza particolare...
Comunque, se si parla di
equazioni differenziali ordinarie lineari omogenee a coefficienti costanti, cioè equazioni del tipo:
$$
y^{(n)}(x)+a_{n-1}y^{(n-1)}(x)+\cdots +a_1y^{\prime}(x)+a_0=0\; \textrm{ con }\; a_{n-1},\dots, a_0\in\mathbb R
$$
si dimostra (e, se ho capito la tua domanda, vorresti capire come) che la generica soluzione è una combinazione lineare di funzioni del tipo
$$
x^he^{\lambda x}(=x^he^{ux}(\cos(vx)+i\sin(vx))\;\textrm{ se }\lambda=a+ib \;\textrm{ con }u,v\in\mathbb R)
$$
dove i vari $\lambda\in\mathbb C$ sono le radici del polinomio caratteristico dell'equazione, e $h=0$,...,$m-1$ dove $m$ è la molteplicità della radice $\lambda$; nel tuo caso (ordine due), i
$\lambda\in\mathbb C$ sono le soluzioni dell'equazione
$$
\lambda^2+a\lambda+b=0
$$
Per esempio, l'equazione [tex]y''-2y'+y=0[/tex] (con equazione caratteristica $(\lambda-1)^2=0$) ha come soluzione generale:
$$
y(x)=c_1e^x+c_2xe^x
$$
Quindi vedi che non tutte le soluzioni sono del tipo $e^{\lambda x}$...i "mattoni" sono le funzioni del tipo $x^he^{\lambda x}$, ma la potenza $x^h$ "non compare" se $\lambda$ non è una radice multipla (e per equazioni del secondo ordine al massimo viene $xe^{\lambda x}$...). Se poi la radice $\lambda=u+iv$ è complessa non reale (ma i coefficienti dell'equazione sono reali...), allora (si dimostra che) anche $\overline{\lambda}=u-iv$ è necessariamente radice dell'equazione caratteristica e
quindi le funzioni
$$e^{\lambda x}=e^{ux}(\cos(vx)+i\sin(vx)),\;\;\; e^{\overline{\lambda} x}=e^{ux}(\cos(vx)-i\sin(vx))$$
compaiono fra le soluzioni (linearmente indipendenti) dell'equazione differenziale...ma allora (per linearità, o, a volte, "principio di sovrapposizione") anche
$$
\frac{e^{\lambda x}+e^{\overline{\lambda} x}}{2}=e^{ux}\cos(vx)\;\textrm{ e }\;
\frac{e^{\lambda x}-e^{\overline{\lambda} x}}{2i}=e^{ux}\sin(vx)
$$
devono essere soluzioni (ancora linearmente indipendenti) dell'equazione...
Per esempio, l'equazione [tex]y''+y=0[/tex] (con equazione caratteristica $\lambda^2+1=0$) ha come soluzione generale:
$$
y(x)=c_1\cos(x)+c_2\sin(x)
$$
Se invece consideri equazioni non omogenee (eg [tex]y''+ay'+by=f(x)[/tex] con $f(x)\ne 0$), allora le soluzioni possono tranquillamente non essere del tipo "combinazione lineare di potenze per esponenziali complessi"...
Se vuoi capire perché le soluzioni sono necessariamente del tipo detto potresti leggere, per esempio, Apostol, Calcolo, Vol. 3...altri libri fanno considerazioni (corrette), secondo me, "meno trasparenti" (e con meno esempi)...
Grazie per la risposta alessio!
sì, il fatto che ci possono essere soluzioni date da [tex]xe^{\lambda x}[/tex] lo conosco, ma comunque c'è l'esponenziale di mezzo... mi chiedevo se potesse non esserci proprio... e sembra essere così nel caso di [tex]y''+y=0[/tex] anche se in questo caso l'esponenziale c'è ma è mascherato (e^0).
Cioè, voglio dire: all'equazione caratteristica c'arrivo partendo dall'assunto che sto cercando una soluzione del tipo [tex]e^{\lambda x}[/tex] (almeno questo dicono i due libri che ho consultato, tabacco-canuto e bertsh-dal passo-giacomelli). MI chiedevo "ma chi mi autorizza a cercare una soluzione di questo tipo?"
quindi la domanda è: c'è un teorema che dice una cosa del genere? cioè: c'è un teorema che mi dice: "cercati una soluzione del tipo [tex]y(x)=e{\lambda x}[/tex] perchè questo è l'unico tipo di funzioni che possono essere soluzioni della tua equazione differenziale?" è a questo che ti riferisci quando dici
consulterò certamente l'apostol, ora però non posso. Grazie mille per l'aiuto!
sì, il fatto che ci possono essere soluzioni date da [tex]xe^{\lambda x}[/tex] lo conosco, ma comunque c'è l'esponenziale di mezzo... mi chiedevo se potesse non esserci proprio... e sembra essere così nel caso di [tex]y''+y=0[/tex] anche se in questo caso l'esponenziale c'è ma è mascherato (e^0).
Cioè, voglio dire: all'equazione caratteristica c'arrivo partendo dall'assunto che sto cercando una soluzione del tipo [tex]e^{\lambda x}[/tex] (almeno questo dicono i due libri che ho consultato, tabacco-canuto e bertsh-dal passo-giacomelli). MI chiedevo "ma chi mi autorizza a cercare una soluzione di questo tipo?"
quindi la domanda è: c'è un teorema che dice una cosa del genere? cioè: c'è un teorema che mi dice: "cercati una soluzione del tipo [tex]y(x)=e{\lambda x}[/tex] perchè questo è l'unico tipo di funzioni che possono essere soluzioni della tua equazione differenziale?" è a questo che ti riferisci quando dici
"alessio76":
se si parla di
equazioni differenziali ordinarie lineari omogenee a coefficienti costanti, cioè equazioni del tipo:
$$
y^{(n)}(x)+a_{n-1}y^{(n-1)}(x)+\cdots +a_1y^{\prime}(x)+a_0=0\; \textrm{ con }\; a_{n-1},\dots, a_0\in\mathbb R
$$
si dimostra (e, se ho capito la tua domanda, vorresti capire come) che la generica soluzione è una combinazione lineare di funzioni del tipo
$$
x^he^{\lambda x}(=x^he^{ux}(\cos(vx)+i\sin(vx))\;\textrm{ se }\lambda=a+ib \;\textrm{ con }u,v\in\mathbb R)
$$
dove i vari $\lambda\in\mathbb C$ sono le radici del polinomio caratteristico dell'equazione, e $h=0$,...,$m-1$ dove $m$ è la molteplicità della radice $\lambda$; nel tuo caso (ordine due), i
$\lambda\in\mathbb C$ sono le soluzioni dell'equazione
$$
\lambda^2+a\lambda+b=0
consulterò certamente l'apostol, ora però non posso. Grazie mille per l'aiuto!
Prego!
E la risposta è sì, il teorema c'è. Però l'enunciato che credo tu abbia in mente rimane un po' riposto nelle pieghe delle varie esposizioni...perché uno vada proprio a prendere degli esponenziali (complessi, ok) e non altro sembra un po' cadere dal cielo.
In realtà, comunque uno voglia dimostrare il Teorema, bisogna passare comunque attraverso il fatto che l'insieme delle soluzioni dell'equazione omogenea di ordine n è un spazio vettoriale di dimensione n (di solito questo viene dimostrato in forme più generali...per esempio coeff. continui,... passando ai sistemi, etc...) e poi si cercano n soluzioni linearmente indipendenti; una volta trovate queste è finita: ogni altra deve per forza essere combinazione lineare delle precedenti.
Di solito si dice, beh..cercandole in forma esponenziale (più o meno, ci sono anche i prodotti con potenze...) ne vengono n indipendenti, quindi ok; ma non viene detto da dove si è tirato fuori l'esponenziale...
Apostol (e pensandoci, anche Giusti, Analisi Matematica 2) fa capire (anche sugli esempi) perché gli esponenziali sono la scelta naturale...
Saluti
E la risposta è sì, il teorema c'è. Però l'enunciato che credo tu abbia in mente rimane un po' riposto nelle pieghe delle varie esposizioni...perché uno vada proprio a prendere degli esponenziali (complessi, ok) e non altro sembra un po' cadere dal cielo.
In realtà, comunque uno voglia dimostrare il Teorema, bisogna passare comunque attraverso il fatto che l'insieme delle soluzioni dell'equazione omogenea di ordine n è un spazio vettoriale di dimensione n (di solito questo viene dimostrato in forme più generali...per esempio coeff. continui,... passando ai sistemi, etc...) e poi si cercano n soluzioni linearmente indipendenti; una volta trovate queste è finita: ogni altra deve per forza essere combinazione lineare delle precedenti.
Di solito si dice, beh..cercandole in forma esponenziale (più o meno, ci sono anche i prodotti con potenze...) ne vengono n indipendenti, quindi ok; ma non viene detto da dove si è tirato fuori l'esponenziale...
Apostol (e pensandoci, anche Giusti, Analisi Matematica 2) fa capire (anche sugli esempi) perché gli esponenziali sono la scelta naturale...
Saluti
No, aspetta, mi mandi in crisi! 
se gli esponenziali sono la scelta naturale (motivo: le soluzioni devono essere linearmente indipendenti) questo vieta che ci siano altre vie meno.. comode? nel senso.. potrei trovare un altro set di soluzioni che non sono espresse con esponenziali (nemmeno come prodotto di potenze ed esponenziali) ma che siano linearmente indipendenti e dire che tutte le soluzioni sono date dalla combinazione lineare di queste soluzioni... o no? (in linea teorica dico, non ho la più pallida idea di come potrebbe essere fatto questo ipotetico set, ma non mi interessa nemmeno più di tanto )
se gli esponenziali sono la scelta naturale (motivo: le soluzioni devono essere linearmente indipendenti) questo vieta che ci siano altre vie meno.. comode? nel senso.. potrei trovare un altro set di soluzioni che non sono espresse con esponenziali (nemmeno come prodotto di potenze ed esponenziali) ma che siano linearmente indipendenti e dire che tutte le soluzioni sono date dalla combinazione lineare di queste soluzioni... o no? (in linea teorica dico, non ho la più pallida idea di come potrebbe essere fatto questo ipotetico set, ma non mi interessa nemmeno più di tanto
)
"Trin":
No, aspetta, mi mandi in crisi!
se gli esponenziali sono la scelta naturale (motivo: le soluzioni devono essere linearmente indipendenti) questo vieta che ci siano altre vie meno.. comode? nel senso.. potrei trovare un altro set di soluzioni che non sono espresse con esponenziali (nemmeno come prodotto di potenze ed esponenziali) ma che siano linearmente indipendenti e dire che tutte le soluzioni sono date dalla combinazione lineare di queste soluzioni... o no? (in linea teorica dico, non ho la più pallida idea di come potrebbe essere fatto questo ipotetico set, ma non mi interessa nemmeno più di tanto
Uhm...no gli esponenziali sono la scelta naturale perché, per esempio...se la tua equazione è
[tex]y''+3y'+2y=0[/tex]
cioè, cambiando notazione (dove $D$ è l'operatore derivazione)
$$
(D+1)(D+2)y=0 \textrm{ o equivalentemte } (D+2)(D+1)y=0
$$
allora tutte le $y$ tali $(D+2)y=0$ (ovvero: $y^\prime=-2y$) saranno soluzioni anche di $(D+1)(D+2)y=0$, ma queste si trovano risolvendo una banale equazioni a variabili separabili e quindi sono, tutte e sole
$$
y=pe^{-2x} \textrm{ con } p\in\mathbb R
$$
Analogamente, anche tutte le $y$ tali $(D+1)y=0$ (ovvero: $y^\prime=-y$) saranno pure esse soluzioni di $(D+2)(D+1)y=0$ e, come prima, queste sono, tutte e sole
$$
y=qe^{-x} \textrm{ con } q\in\mathbb R
$$
Ora, visto che $e^{-2x},\; e^{-x}$ sono linearmente indipendenti su $\mathbb R$ abbiamo finito, le soluzioni di [tex]y''+3y'+2y=0[/tex] sono tutte e sole le funzioni della forma
$$
y(x)=pe^{-2x}+qe^{-x} \textrm{ con } p, q\in\mathbb R
$$
Capito perché dico che gli esponenziali sono "naturali"?
Ma forse la tua domanda è un'altra...e però in tal caso non è una domanda sulle equazioni differenziali (ma sull'unicità della "rappresentazione analitica" di una funzione, credo).
PS in modo molto più formale...una volta che ci si convince che l'insieme $V$ delle soluzioni dell'equazione [tex]y''+3y'+2y=0[/tex] è il nucleo dell'operatore lineare
$$
L=(D+1)(D+2)\colon {\mathcal C}^2(\mathbb R)\longrightarrow {\mathcal F}(\mathbb R,\mathbb R)
$$
basta osservare che, essendo $1=(D+2)-(D+1)$, il nucleo di $L$ si spezza in somma diretta
$$
V=\ker(L)=\ker((D+1)(D+2))=\ker(D+1)\oplus\ker(D+2)
$$
ma $$\ker(D+1)=\{qe^{-x}\mid q\in\mathbb R\}$$ e $$\ker(D+2)=\{pe^{-2x}\mid p\in\mathbb R\}$$...
Come vedi non c'è molta scelta...
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