EDO del secondo ordine

[Obidream]

Buon pomeriggio, sto trovando difficoltà con la seguente EDO:

$y''-2y'+4y=e^(-x)cos(x)$

Prima di tutto risolvo l'omogenea associata quindi:

$\lambda^2-2\lambda+4=0$ da cui $\lambda=1+-isqrt(3)$

Quindi l'integrale generale dell'omogenea associata è:

$y=C_1e^xcos(sqrt(3)x)+C_2e^xsin(sqrt(3)x)$

Ora visto che $\alpha=-1+i$ non è soluzione del polinomio caratteristico l'integrale particolare sarà del tipo:

$y_p=e^(-x)(Acos(x)+Bsin(x))$

Ora anziché fare un sacco di derivate con possibilità di errore, il prof ci ha suggerito un'altra via, dopo aver mostrato come derivare un'esponenziale complesso:

Si considera $e^(-x)cos(x)$ come la parte reale di $e^(\alphax)$, con $\alpha=-1+i$ e poi si procede così:

$y_p=Ae^(\alphax)$

$y'_p=Ae^(\alphax)$

$y''_p=A\alpha^2e^(\alphax)$

Ora sostituendo nella EDO:

$A\alpha^2e^(\alphax)-2A\alphae^\(\alphax)+4Ae^(\alphax)=e^(\alphax)$ da cui $A=1/(\alpha^2-2\alpha+4)$

Ricordando che $\alpha=-1+i$ ottengo $A=1/(6-4i)$... ma ora come ricavo che $A=3/26-1/13i$??

[ciampax]

$1/z={\bar{z}}/{|z|^2}$.....

[gugo82]

Questa è la seconda volta in 24h che trovi problematica la razionalizzazione di un numero complesso... Che sia il caso di fare esercizi specifici?