EDO del primo oridine

[cri981]

salve ragazzi,
non riesco ad arrivare alla conclusione di questo esercizio:
risolvere l'EDO del primo ordine:
$ yprime=(1-y^2)/(1-t^2) $
procedo nel seguente modo:

$ dy/dt=(1-y^2)/(1-t^2) $


$ dy/(1-y^2)=dt/(1-t^2) $

integro:
$ int1/(1-y^2)dy=int1/(1-t^2)dt $
ottengo:
1/2log(x+1)-log(1-x)=1/2log(t+1)-log(1-t)+c

il risultato che devo ottenere è:
$ y(t)=(t+k)/(kt+1) $

grazie

[pilloeffe]

Ciao cri98,

E' semplicemente un altro modo di scrivere la soluzione:

$ 1/2 [log(1 + y) - log(1 - y)] = 1/2 [log(1 + t) - log(1 - t)] + c $

Posto $c := 1/2 log k $ si ha:

$ 1/2 (log(1 + y) - log(1 - y)) = 1/2 (log(1 + t) - log(1 - t)) + 1/2 log k $

$ log((1 + y)/(1 - y)) = log((k + kt)/(1 - t)) $

$ (1 + y)/(1 - y) = (k + kt)/(1 - t) $

$ 1 + y = (k + kt)/(1 - t) (1 - y) $

$ y + (k + kt)/(1 - t) y = (k + kt)/(1 - t) - 1 $

$ y((1 - t + k + kt)/(1 - t)) = (k + kt - 1 + t)/(1 - t) $

$ y = (k + kt - 1 + t)/(1 - t + k + kt) = ((k + 1)t + k - 1)/((k - 1)t + k + 1) = (t + (k - 1)/(k + 1))/(((k - 1)/(k + 1))t + 1) $

Richiamando con $k $ il rapporto $ (k - 1)/(k + 1) $ si ottiene proprio il risultato desiderato:

$ y(t)=(t+k)/(kt+1) $

[cri981]

grazie pilloeffe,
tutto chiaro