EDO con somiglianza e Lagrange
$y''+2y'+y=e^(\lambdat)$. Il polinomio caratteristico dell'omogenea associata dà come soluzione un autovalore reale $\mu=-1$
e pertanto la soluzione generale sarà $y_0=C_1e^(-t)+tC_2e^(-t)$. Per la caratteristica, ho fatto ricorso dapprima al metodo della somiglianza, ricercando la soluzione nella forma $Q=Ae^(\lambdat)$ Cosicché avessi $Q'=A\lambdae^(\lambdat)$ e $Q''=Ae^(\lambdat)+A\lambda^2e^(\lambdat)$ e quindi $Ae^(\lambdat)(\lambda^2+2\lambda+2)=e^(\lambdat)$. Risolvendo $\lambda$ mi vengono però due valori complessi. Allora ho provato con variazione delle costanti, ma il Wronskiano viene nullo. Qualcuno mi può aiutare?
e pertanto la soluzione generale sarà $y_0=C_1e^(-t)+tC_2e^(-t)$. Per la caratteristica, ho fatto ricorso dapprima al metodo della somiglianza, ricercando la soluzione nella forma $Q=Ae^(\lambdat)$ Cosicché avessi $Q'=A\lambdae^(\lambdat)$ e $Q''=Ae^(\lambdat)+A\lambda^2e^(\lambdat)$ e quindi $Ae^(\lambdat)(\lambda^2+2\lambda+2)=e^(\lambdat)$. Risolvendo $\lambda$ mi vengono però due valori complessi. Allora ho provato con variazione delle costanti, ma il Wronskiano viene nullo. Qualcuno mi può aiutare?
Risposte
Ti dimentichi che $lambda$ è un parametro: a valori diversi corrispondono somiglianze diverse.
Distingui bene i casi.
Distingui bene i casi.
Uhm... quindi debbo considerare il caso in cui $\lambda$ sia soluzione dell'omogenea associata? In tal caso la forma da ricercare dovrebbe essere $Ate^(\lambdat)$?
Un problema è sicuramente quello, e devi farti i conti applicando bene il Metodo di Somiglianza (il guess che proponi per $Q$ è sbagliato se $lambda =-1$).
Un altro problema è che nei conti fatti in precedenza (esatti quando $lambda$ non è una radice dell'equazione caratteristica), ti blocchi perchè perdi di vista l'obiettivo dei calcoli: se stai cercando $Q(t):=Ae^(lambda t)$, mica devi determinare $lambda$...
Un altro problema è che nei conti fatti in precedenza (esatti quando $lambda$ non è una radice dell'equazione caratteristica), ti blocchi perchè perdi di vista l'obiettivo dei calcoli: se stai cercando $Q(t):=Ae^(lambda t)$, mica devi determinare $lambda$...
Ah già è vero: devo trovare $A$.
"gugo82":
Un problema è sicuramente quello, e devi farti i conti applicando bene il Metodo di Somiglianza (il guess che proponi per $Q$ è sbagliato se $lambda =-1$).
Un altro problema è che nei conti fatti in precedenza (esatti quando $lambda$ non è una radice dell'equazione caratteristica), ti blocchi perchè perdi di vista l'obiettivo dei calcoli: se stai cercando $Q(t):=Ae^(lambda t)$, mica devi determinare $lambda$...
Però scusa se $\lambda$ è soluzione del polinomio associato la forma non dovrebbe essere $Ate^(\lambdat)$? Ho provato inoltre a ricercare la soluzione nella forma $Ate^(-t)$, nel caso in cui $\lambda$ fosse soluzione del polinomio caratteristico dell'omogenea associata, dunque nel caso in cui $\lambda=-1=\mu$ però mi viene $0=e^(-t)$
"umbe":
[quote="gugo82"]Un problema è sicuramente quello, e devi farti i conti applicando bene il Metodo di Somiglianza (il guess che proponi per $Q$ è sbagliato se $lambda =-1$).
Però scusa se $\lambda$ è soluzione del polinomio associato la forma non dovrebbe essere $Ate^(\lambdat)$?[/quote]
Costa proprio così tanto andare a rileggerti l'enunciato del Metodo che ti ho proposto tempo fa?
Ciao umbe,
Fermo restando che seguirei il consiglio di gugo82, la soluzione dell'equazione omogenea associata all'equazione differenziale ordinaria proposta, come hai già ottenuto, è la seguente:
$y_o(t) = c_1 e^{-t} + c_2 t e^{-t} $
Per la soluzione particolare, ipotizzando come hai già fatto una soluzione del tipo $Ae^{\lambda t} $ dopo qualche passaggio si ottiene $A = 1/(\lambda + 1)^2 $, dunque la soluzione generale dell'EDO proposta è la seguente:
$y(t) = y_o(t) + y_p(t) = c_1 e^{-t} + c_2 t e^{-t} + \frac{e^{\lambda t}}{(\lambda + 1)^2} $
Ovviamente, come ti ha già scritto anche gugo82, tale soluzione non è valida nel caso in cui sia $\lambda = - 1 $: infatti in tal caso si annulla il denominatore della soluzione particolare. Dunque considererei a parte tale caso, cioè ora devi trovare una soluzione particolare dell'EDO seguente:
$ y''(t)+2y'(t)+y(t) = e^{-t} $
Per fare questo occorre procedere similmente a quanto ti ho già scritto in questo tuo post.
Fermo restando che seguirei il consiglio di gugo82, la soluzione dell'equazione omogenea associata all'equazione differenziale ordinaria proposta, come hai già ottenuto, è la seguente:
$y_o(t) = c_1 e^{-t} + c_2 t e^{-t} $
Per la soluzione particolare, ipotizzando come hai già fatto una soluzione del tipo $Ae^{\lambda t} $ dopo qualche passaggio si ottiene $A = 1/(\lambda + 1)^2 $, dunque la soluzione generale dell'EDO proposta è la seguente:
$y(t) = y_o(t) + y_p(t) = c_1 e^{-t} + c_2 t e^{-t} + \frac{e^{\lambda t}}{(\lambda + 1)^2} $
Ovviamente, come ti ha già scritto anche gugo82, tale soluzione non è valida nel caso in cui sia $\lambda = - 1 $: infatti in tal caso si annulla il denominatore della soluzione particolare. Dunque considererei a parte tale caso, cioè ora devi trovare una soluzione particolare dell'EDO seguente:
$ y''(t)+2y'(t)+y(t) = e^{-t} $
Per fare questo occorre procedere similmente a quanto ti ho già scritto in questo tuo post.
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