E.d.o. con metodo di Frobenius
Buongiorno a tutti! Sto provando a preparare l'esame di AM2, ma le difficoltà sono congrue. Un esercizio nemmeno troppo difficile (considerati gli altri!) mi chiede di determinare una soluzione dispari in serie di potenze per l'e.d.o.
$y''-xy'+\alpha y =0$
al variare di $\alpha$ nei reali.
Inizialmente non mi sono lasciato spaventare e ho cercato soluzioni in forma $y=\sum A_n x^n$ da cui derivando e sostituendo si perviene ad un'espressione in cui tre sommatorie non sono sincronizzate tra loro. Pur svolgendo calcoli e semplificazioni varie non riesco a ricondurre l'espressione ad una somma di coefficienti di un'unica potenza di x. Il risultato a cui dovrei pervenire dovrebbe, secondo me, essere una relazione ricorsiva che permetta il calcolo dei coefficienti nella quale sia coinvolta il parametro $\alpha$ tramite il quale si potrà imporre che i termini di posto pari siano nulli definitivamente. Il problema è...come ci si arriva? Ho risolto con successo il problema di Frobenius per l'equazione di Bessel di grado 0, ma in questo caso sto affrontando difficoltà. Ogni aiuto è ben accetto.
$y''-xy'+\alpha y =0$
al variare di $\alpha$ nei reali.
Inizialmente non mi sono lasciato spaventare e ho cercato soluzioni in forma $y=\sum A_n x^n$ da cui derivando e sostituendo si perviene ad un'espressione in cui tre sommatorie non sono sincronizzate tra loro. Pur svolgendo calcoli e semplificazioni varie non riesco a ricondurre l'espressione ad una somma di coefficienti di un'unica potenza di x. Il risultato a cui dovrei pervenire dovrebbe, secondo me, essere una relazione ricorsiva che permetta il calcolo dei coefficienti nella quale sia coinvolta il parametro $\alpha$ tramite il quale si potrà imporre che i termini di posto pari siano nulli definitivamente. Il problema è...come ci si arriva? Ho risolto con successo il problema di Frobenius per l'equazione di Bessel di grado 0, ma in questo caso sto affrontando difficoltà. Ogni aiuto è ben accetto.
Risposte
Se la soluzione ha la forma $y=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$ allora si ha
$y'=\sum_{n=0}^\infty a_n\cdot n x^{n-1}=\sum_{n=1}^\infty n a_n x^{n-1}$
$y''=\sum_{n=1}^\infty n(n-1)a_n x^{n-2}=\sum_{n=2}^\infty n(n-1) a_n x^{n-2}$
Sostituendo
$\sum_{n=2}^\infty n(n-1) a_n x^{n-2}-sum_{n=1}^\infty n a_n x^n+\sum_{n=0}^\infty \alpha a_n x^n=0$
da cui, riportando tutte le potenze della $x$ alla stessa forma $x^n$
$\sum_{n=0}^\infty (n+2)(n+1)a_{n+2} x^n-\sum_{n=1}^\infty n a_n x^n+\sum_{n=0}^\infty \alpha a_n x^n=0$
da cui
$(2a_2+\alpha a_0)+\sum_{n=1}^\infty [(n+2)(n+1)a_{n+2}+(alpha-n) a_n] x^n=0$
ne segue allora che
$2a_2+\alpha a_0=0,\qquad (n+2)(n+1)a_{n+2}+(\alpha-n) a_n=0,\ n\ge 1$
Dal momento che si ricercano soluzioni dispari, dalla prima condizione si ricava che
$a_2=-1/2 \alpha a_0=0$ da cui $a_0=0$.
Se ora scriviamo la seconda condizione per indici pari e dispari, otteniamo
1) $n=2m$
$(2m+2)(2m+1)a_{2m+2}+(\alpha-2m)a_{2m}=0\ \Rightarrow\ a_{2(m+1)}=-{\alpha-2m}/{2(m+1)(2m+1)}\cdot a_{2m}$
per cui, visto che i coefficienti delle potenze pari, dipendono solo da altri coefficienti di potenze pari, e dal momento che $a_0=a_2=0$, segue che $a_{2m}=0$ per goni $m\in NN$.
2) $n=2m-1$
$(2m+1)(2m)a_{2m+1}+(\alpha-2m+1)a_{2m-1}=0\ \Rightarrow\ a_{2m+1}=\frac{2m-1-\alpha}{2m(2m+1)}\ a_{2m-1}$
e si vede che i coefficienti dipendono tutti dalla scelta di $a_1$ (si può scrivere una relazione non ricorsiva per tali coefficienti, ma non so se ti serve anche questa).
In base a queste conclusioni, si trova la soluzione
$y=\sum_{m=1}^\infty a_{2m-1} x^{2m-1}$ dove $a_{2m+1}=\frac{2m-1-\alpha}{2m(2m+1)}\ a_{2m-1}$
$y'=\sum_{n=0}^\infty a_n\cdot n x^{n-1}=\sum_{n=1}^\infty n a_n x^{n-1}$
$y''=\sum_{n=1}^\infty n(n-1)a_n x^{n-2}=\sum_{n=2}^\infty n(n-1) a_n x^{n-2}$
Sostituendo
$\sum_{n=2}^\infty n(n-1) a_n x^{n-2}-sum_{n=1}^\infty n a_n x^n+\sum_{n=0}^\infty \alpha a_n x^n=0$
da cui, riportando tutte le potenze della $x$ alla stessa forma $x^n$
$\sum_{n=0}^\infty (n+2)(n+1)a_{n+2} x^n-\sum_{n=1}^\infty n a_n x^n+\sum_{n=0}^\infty \alpha a_n x^n=0$
da cui
$(2a_2+\alpha a_0)+\sum_{n=1}^\infty [(n+2)(n+1)a_{n+2}+(alpha-n) a_n] x^n=0$
ne segue allora che
$2a_2+\alpha a_0=0,\qquad (n+2)(n+1)a_{n+2}+(\alpha-n) a_n=0,\ n\ge 1$
Dal momento che si ricercano soluzioni dispari, dalla prima condizione si ricava che
$a_2=-1/2 \alpha a_0=0$ da cui $a_0=0$.
Se ora scriviamo la seconda condizione per indici pari e dispari, otteniamo
1) $n=2m$
$(2m+2)(2m+1)a_{2m+2}+(\alpha-2m)a_{2m}=0\ \Rightarrow\ a_{2(m+1)}=-{\alpha-2m}/{2(m+1)(2m+1)}\cdot a_{2m}$
per cui, visto che i coefficienti delle potenze pari, dipendono solo da altri coefficienti di potenze pari, e dal momento che $a_0=a_2=0$, segue che $a_{2m}=0$ per goni $m\in NN$.
2) $n=2m-1$
$(2m+1)(2m)a_{2m+1}+(\alpha-2m+1)a_{2m-1}=0\ \Rightarrow\ a_{2m+1}=\frac{2m-1-\alpha}{2m(2m+1)}\ a_{2m-1}$
e si vede che i coefficienti dipendono tutti dalla scelta di $a_1$ (si può scrivere una relazione non ricorsiva per tali coefficienti, ma non so se ti serve anche questa).
In base a queste conclusioni, si trova la soluzione
$y=\sum_{m=1}^\infty a_{2m-1} x^{2m-1}$ dove $a_{2m+1}=\frac{2m-1-\alpha}{2m(2m+1)}\ a_{2m-1}$
Ti ringrazio per la risposta chiara ed estensiva. A quanto pare le serie sono sincronizzate per n=1, ecco dove sbagliavo. Sei stato davvero d'aiuto. Buona giornata!
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