Ed ora proviamo con un esercizio sulle EDO (secondo ordine completa a coeff. costanti)
Dopo aver fatto un po' di chiarezza sulla teoria mi stavo cimentando in un primo esercizio ma noto già un problema.
Il professore ha detto che in caso il termine noto della completa sia $g(x)=e^(\lambda x)$ allora la soluzione particolare da aggiungere a quella omogenea che ho già trovato deve cercarsi (coo metodo della somiglianza in tale caso) $z=e^(Mx)$, e se non funzionasse passare a $z=xe^(Mx)$
A fronte delle tante regolette sul libro e che ho trovato online mi sembra un metodo comodo, soprattutto perché suggerito dal professore, tuttavia mi imbroglio e non capisco bene come proseguire, spero abbiate voglia di aiutarmi ancora
$y''-4y'+3y=xe^(-x)$
siamo nel tipo che dicevo in apertura.
Ho guindi trovato la generale, ovviamente tramite polinomio caratteristico che è piuttosto semplice,
il dubbio nasce in quella particolare.
provo subito con
$z=xe^(Mx)$
derivo un paio di volte:
$z'=e^(Mx)(Mx+1)$
$z''=e^(M x) M (2 + M x)$
Sono pronta a sostituire e fare il confronto:
$M^2xe^(Mx)+2Me^(Mx)-4Mxe^(Mx)-4e^(Mx)+3xe^(Mx)=xe^(-x)$
L'erercizio con confronto della polinomiale mi è venuto, questo non capisco come procedere da qui in poi..
Grazie ancora a tutti.
Il professore ha detto che in caso il termine noto della completa sia $g(x)=e^(\lambda x)$ allora la soluzione particolare da aggiungere a quella omogenea che ho già trovato deve cercarsi (coo metodo della somiglianza in tale caso) $z=e^(Mx)$, e se non funzionasse passare a $z=xe^(Mx)$
A fronte delle tante regolette sul libro e che ho trovato online mi sembra un metodo comodo, soprattutto perché suggerito dal professore, tuttavia mi imbroglio e non capisco bene come proseguire, spero abbiate voglia di aiutarmi ancora
$y''-4y'+3y=xe^(-x)$
siamo nel tipo che dicevo in apertura.
Ho guindi trovato la generale, ovviamente tramite polinomio caratteristico che è piuttosto semplice,
il dubbio nasce in quella particolare.
provo subito con
$z=xe^(Mx)$
derivo un paio di volte:
$z'=e^(Mx)(Mx+1)$
$z''=e^(M x) M (2 + M x)$
Sono pronta a sostituire e fare il confronto:
$M^2xe^(Mx)+2Me^(Mx)-4Mxe^(Mx)-4e^(Mx)+3xe^(Mx)=xe^(-x)$
L'erercizio con confronto della polinomiale mi è venuto, questo non capisco come procedere da qui in poi..
Grazie ancora a tutti.
Risposte
Innanzitutto deve necessariamente essere \(M=-1\) e puoi impostarlo sin dall'inizio. In secondo luogo la soluzione particolare va cercata tale che il polinomio che moltiplica l'esponenziale sia dello stesso grado di quello che compare a termine noto. Nel nostro caso si ha grado primo, di conseguenza la soluzione particolare va cercata fra quelle della forma \((\alpha x+\beta)e^{-x}\) con \(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\).
Grazie per la spiegazione, tuttavia ad esempio in questo caso non capisco perché venga scelto:
Es.
$y''+4y=1/2sin(2x)$
$x(Acos(2x)+Bsin(2x))$ e non $Acos(2x)+Bsin(2x)$ non capisco il perché metta anche x per cercare la soluzione particolare..
Es.
$y''+4y=1/2sin(2x)$
$x(Acos(2x)+Bsin(2x))$ e non $Acos(2x)+Bsin(2x)$ non capisco il perché metta anche x per cercare la soluzione particolare..
Perché \(2i\) è radice del polinomio caratteristico associato all'omogenea. Se vuoi puoi vedere \(\sin{(2x)}\) come la parte reale di \(e^{2ix}\). Nella prima equazione differenziale che hai proposto la costante che moltiplica l'esponente è \(-1\) (\(e^{-x}=e^{-1\cdot x}\)), che però non è radice del polinomio associato all'omogenea (\(\lambda^2-4\lambda+3=(\lambda-3)(\lambda-1)\)).
Devi scusarmi ma mi sono persa nella tua spiegazione, ho capito che è la notazione in forma esponenziale del numero complesso quella che hai scritto. e il seno dell angolo a cui è elevato "e^i" è la parte reale.
Però non ho capito bene come giustifichi la mia domanda.
Io ho questa seconda eq. differenziale:
$ y''+4y=1/2sin(2x) $
e per cercare la soluzione aprticolare usa
$ x(Acos(2x)+Bsin(2x)) $
invece le avrei cercate nelle $ Acos(2x)+Bsin(2x) $ (cioè senza x a moltiplicare davanti il termine tra parentesi)
Edit:
aspetta, forse mi stai dicendo che
$Y_p=x^me^(Gx)(Q_(1n)(x)*cos(\theta x)+ Q_(2n)*(x)sin(\theta x))$
In sostanza l'esponente di x (che ho chiamato m) deve essere 1 poiché la parte reale vale 0 e il termine e^(Gx) non esiste essendo G=0?
Però non ho capito bene come giustifichi la mia domanda.
Io ho questa seconda eq. differenziale:
$ y''+4y=1/2sin(2x) $
e per cercare la soluzione aprticolare usa
$ x(Acos(2x)+Bsin(2x)) $
invece le avrei cercate nelle $ Acos(2x)+Bsin(2x) $ (cioè senza x a moltiplicare davanti il termine tra parentesi)
Edit:
aspetta, forse mi stai dicendo che
$Y_p=x^me^(Gx)(Q_(1n)(x)*cos(\theta x)+ Q_(2n)*(x)sin(\theta x))$
In sostanza l'esponente di x (che ho chiamato m) deve essere 1 poiché la parte reale vale 0 e il termine e^(Gx) non esiste essendo G=0?
Perché semplicemente senza la x non funziona. C'è una regola generale sul come cercare soluzioni, il prof avrebbe dovuto parlarvene invece di dirvi come si fa solo in un caso particolare
"Vulplasir":
Perché semplicemente senza la x non funziona. C'è una regola generale sul come cercare soluzioni, il prof avrebbe dovuto parlarvene invece di dirvi come si fa solo in un caso particolare
Eh hai perfettamente ragione e sto cercando di arginare il problema con tutte le mie forze perché ha fatto un esempio semplicissimo che avrei saputo fare anche io e ora mi trovo nei pasticci non capendoci una mazza
Vorrei capirne la logica, perché si fa così e soprattutto come si fa.
Dal libro è criptico, non riesco proprio a raccapezzarmi, online anche non trovo qualcosa di lineare e ben fatto e ora mi trovo a voler capire ma non riuscirci.
E' tre giorni che cerco di riordinare le idee, molto ho capito, mi manca quest'ultima parte su quelle di secondo ordine a coeff. costanti.
Inoltre è un argomento che spiegato in 3 giorni in classe correndo non mi è parso molto furbo, ma tant'è
"saretta:)":
Edit:
aspetta, forse mi stai dicendo che
$Y_p=x^me^(Gx)(Q_(1n)(x)*cos(\theta x)+ Q_(2n)*(x)sin(\theta x))$
In sostanza l'esponente di x (che ho chiamato m) deve essere 1 poiché la parte reale vale 0 e il termine e^(Gx) non esiste essendo G=0?
Questo è qualcosa che ho trovato online, ma non so ben usare forse
"saretta:)":Chiaramente intendevo che è la parte immaginaria.
e il seno dell angolo a cui è elevato "e^i" è la parte reale.
"saretta:)":Questa cosa qui senza indicare le condizioni per la quale andrebbe usata ha ben poco significato. Sapresti riportarle? Una volta fatto dovrebbe essere tutto più chiaro
$Y_p=x^me^(Gx)(Q_(1n)(x)*cos(\theta x)+ Q_(2n)*(x)sin(\theta x))$
Ehm diciamo che non saprei del tutto usarla infatti.
Sono arrivata da sola navigando su una dispensa dove era riportata, il fatto che non mi è rimasta chiarissima in mente, mi sembrava avesse molte eccezioni.
Da quel che ho capito nel nostro caso in esame sarebbe
Delta <0
theta =2 (cioè il mio 2x)
Essendo 0 la parte reale G vale zero perché non ho esponenziale (in tal modo diventerebbe1)
e dato che G coincide con 0 che è una soluzione allora m deve essere = 1 cioè x^1=x
Il problema è che ci sono arrivata a puzzle prendendo qua e là spunti, ma non sono sicura sia giusto e inoltre non saprei usarla sempre per ogni caso trovi. Ad esempio quel theta quando lo pongo uguale a zero e quando no, non capisco proprio come si usi.
La pecca è stata proprio nella spiegazione del prof, mi sembra abbia solo trattato casi specifici senza fornirci quella formula suddetta così trovo problemi in tutti gli esercizi, caspita
Sono arrivata da sola navigando su una dispensa dove era riportata, il fatto che non mi è rimasta chiarissima in mente, mi sembrava avesse molte eccezioni.
Da quel che ho capito nel nostro caso in esame sarebbe
Delta <0
theta =2 (cioè il mio 2x)
Essendo 0 la parte reale G vale zero perché non ho esponenziale (in tal modo diventerebbe1)
e dato che G coincide con 0 che è una soluzione allora m deve essere = 1 cioè x^1=x
Il problema è che ci sono arrivata a puzzle prendendo qua e là spunti, ma non sono sicura sia giusto e inoltre non saprei usarla sempre per ogni caso trovi. Ad esempio quel theta quando lo pongo uguale a zero e quando no, non capisco proprio come si usi.
La pecca è stata proprio nella spiegazione del prof, mi sembra abbia solo trattato casi specifici senza fornirci quella formula suddetta così trovo problemi in tutti gli esercizi, caspita
Ecco come stà la questione:
Se il termine noto di una edo lineare è del tipo:
$b(x)=e^(alphax)(p(x)cos(betax)+q(x)sinbeta(x))$
Con $alpha$ e $beta$ reali eventualmente nulli e p(x) e q(x) polinomi di grado rispettivamente k1 e k2, allora:
1) Se $alpha+ibeta$ NON è radice del polinomio caratteristico della edo, si cerca una soluzione particolare del tipo:
$y(x)=e^(alphax)(r(x)cos(betax)+s(x)sin(betax)$, con r(x) e s(x) polinomi di grado k=max(k1,k2)
2) Se $alpha+ibeta$ è una radice sempice del polinomio caratteristico allora si cercano soluzioni moltiplicando per $x$ la forma del caso 1
3) Se $alpha+ibeta$ è una radice doppia del polinomio caratteristico, allora si cerca una soluzione moltiplicando per x^2 la forma del caso 1.
E così via, se è una radice quadrupla si moltiplica per x^4 etc
Se il termine noto di una edo lineare è del tipo:
$b(x)=e^(alphax)(p(x)cos(betax)+q(x)sinbeta(x))$
Con $alpha$ e $beta$ reali eventualmente nulli e p(x) e q(x) polinomi di grado rispettivamente k1 e k2, allora:
1) Se $alpha+ibeta$ NON è radice del polinomio caratteristico della edo, si cerca una soluzione particolare del tipo:
$y(x)=e^(alphax)(r(x)cos(betax)+s(x)sin(betax)$, con r(x) e s(x) polinomi di grado k=max(k1,k2)
2) Se $alpha+ibeta$ è una radice sempice del polinomio caratteristico allora si cercano soluzioni moltiplicando per $x$ la forma del caso 1
3) Se $alpha+ibeta$ è una radice doppia del polinomio caratteristico, allora si cerca una soluzione moltiplicando per x^2 la forma del caso 1.
E così via, se è una radice quadrupla si moltiplica per x^4 etc
Ecco finalmente ho capito ti ringrazio molto.
Siccome mi hai aiutato molto con questa risposta vorrei "approfittarne" per un'ultima domanda: in questo caso ho capito ma non capisco come risolvere tutti gli altri, nel senso che mi sembra di andare molto a tentoni. Non ho ben capito se sian tabulati questi metodi o dove possa reperirli con una panoramica completa.
Ti faccio un esempio, ho come termine noto per render completa $3x+1$ l'omogenea $y''+y'=0$
ecco io sono andata completamente a caso, ho visto che poteva esser simile a qualcosa tipo $ax^2+bx+c$ ho risolto il sistema e trovato che c non sarebbe servito quindi ho aggiustato il tiro dicendo sarà solo a=3/2 e b=-2
E funziona, però sull'eserciziario scrive che ha usato $(3x+1)e^(0*x)$ ma a me resta un mistero del perché.
Non riesco proprio a trovare un punto dove sia ben spiegato totalmente come usarlo, e usare il mio metodo artigianale non mi fa impazzire.
Siccome mi hai aiutato molto con questa risposta vorrei "approfittarne" per un'ultima domanda: in questo caso ho capito ma non capisco come risolvere tutti gli altri, nel senso che mi sembra di andare molto a tentoni. Non ho ben capito se sian tabulati questi metodi o dove possa reperirli con una panoramica completa.
Ti faccio un esempio, ho come termine noto per render completa $3x+1$ l'omogenea $y''+y'=0$
ecco io sono andata completamente a caso, ho visto che poteva esser simile a qualcosa tipo $ax^2+bx+c$ ho risolto il sistema e trovato che c non sarebbe servito quindi ho aggiustato il tiro dicendo sarà solo a=3/2 e b=-2
E funziona, però sull'eserciziario scrive che ha usato $(3x+1)e^(0*x)$ ma a me resta un mistero del perché.
Non riesco proprio a trovare un punto dove sia ben spiegato totalmente come usarlo, e usare il mio metodo artigianale non mi fa impazzire.
Quello che ti ho scritto vale per tutti i casi, rileggi bene perché non penso tu abbia capito cosa ho scritto.
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