E' vera questa proposizione sugli integrali di superficie?
Prendiamo due funzioni f,g: $R3\mapsto R$, e sia S una superficie, parametrizzata in qualche modo.
Su f1 e su f2 do le seguenti due condizioni
$\int_S f dS = \int_S g dS= Q$ (1), Q è un valore noto.
$\int_S (f)/(|x-x'|)dS$ è costante in tutta la superficie
$\int_S (g)/(|x-x'|)dS$ è costante in tutta la superficie (2)
dove x spazia in tutta la superficie S, mentre x' è un punto qualsiasi fissato della superficie.
Posso sotto queste condizioni dire che $f = g$?
Se si, come si potrebbe dimostrare?
OSSERVAZIONE. Nel mio cervello, f,g sono densità di carica, mentre gli integrali nella (2) rappresentano il potenziale lungo la superficie. Se riuscissi a dimostrare (1), (2) potrei convincermi che, fissata una carica Q, c'è solo una distribuzione capace di rendermi equipotenziale quella superficie.
Su f1 e su f2 do le seguenti due condizioni
$\int_S f dS = \int_S g dS= Q$ (1), Q è un valore noto.
$\int_S (f)/(|x-x'|)dS$ è costante in tutta la superficie
$\int_S (g)/(|x-x'|)dS$ è costante in tutta la superficie (2)
dove x spazia in tutta la superficie S, mentre x' è un punto qualsiasi fissato della superficie.
Posso sotto queste condizioni dire che $f = g$?
Se si, come si potrebbe dimostrare?
OSSERVAZIONE. Nel mio cervello, f,g sono densità di carica, mentre gli integrali nella (2) rappresentano il potenziale lungo la superficie. Se riuscissi a dimostrare (1), (2) potrei convincermi che, fissata una carica Q, c'è solo una distribuzione capace di rendermi equipotenziale quella superficie.
Risposte
Vuoi dire $f=g$ su $S$, naturalmente: non c'è ragione perché coincidano su tutto $RR^3$. Per affrontare questo problema ci vuole qualche teorema di unicità per l'equazione di Laplace con opportuna condizione al bordo. Mi pare che il potenziale $V_f$ generato da $f$ (risp. $V_g$, generato da $g$) risolva il problema di Neumann
\[
\begin{cases}
-\Delta V_f= 0 & \text{nella regione interna a }S \\
\frac{\partial V_f}{\partial \nu}= f & \text{su }S.
\end{cases}
\]
dove $\nu$ è il versore normale uscente da $S$. (A meno, forse, di qualche costante dimensionata). Perciò il potenziale differenza $V_"diff"=V_f -V_g$ risolve
\[\tag{1}
\begin{cases}
-\Delta V_{\text{diff}}= 0 & \text{nella regione interna a }S \\
\frac{\partial V_\text{diff}}{\partial \nu}= \text{costante} & \text{su }S.
\end{cases}
\]
E siccome $\int_S f dS = \int_S g dS, $ si ha che $(\partial V_"diff")/(\partial \nu)$ ha media nulla su $S$. Quindi l'ultima $\text{costante}$ è in realtà zero. Il problema di Neumann per il Laplaciano ha un teorema di unicità secondo cui le uniche soluzioni di (1) (con dato al bordo nullo) sono le costanti. Questo dovrebbe esserti sufficiente.
\[
\begin{cases}
-\Delta V_f= 0 & \text{nella regione interna a }S \\
\frac{\partial V_f}{\partial \nu}= f & \text{su }S.
\end{cases}
\]
dove $\nu$ è il versore normale uscente da $S$. (A meno, forse, di qualche costante dimensionata). Perciò il potenziale differenza $V_"diff"=V_f -V_g$ risolve
\[\tag{1}
\begin{cases}
-\Delta V_{\text{diff}}= 0 & \text{nella regione interna a }S \\
\frac{\partial V_\text{diff}}{\partial \nu}= \text{costante} & \text{su }S.
\end{cases}
\]
E siccome $\int_S f dS = \int_S g dS, $ si ha che $(\partial V_"diff")/(\partial \nu)$ ha media nulla su $S$. Quindi l'ultima $\text{costante}$ è in realtà zero. Il problema di Neumann per il Laplaciano ha un teorema di unicità secondo cui le uniche soluzioni di (1) (con dato al bordo nullo) sono le costanti. Questo dovrebbe esserti sufficiente.
Quello che vorrei sapere è: una volta che ho assegnato $\int_S fdS =Q$, posso dire di aver assegnato $f$, almeno all'interno della superficie S? A me interesserebbe mostrare che esiste una e una sola distribuzione che mi spalma Q in modo da rendere equipotenziale la superficie...
Avrei un altra domanda: se fuori da S f dovesse essere diverso da 0 (traduzione: in giro ci sono altre cariche) l'unicità di f continua a valere? Se si perchè?
Cosa si intende per "V_{diff} ha media nulla su f, e in che modo questo mi determina l'unicità di f (almeno su S)?
Avrei un altra domanda: se fuori da S f dovesse essere diverso da 0 (traduzione: in giro ci sono altre cariche) l'unicità di f continua a valere? Se si perchè?
Cosa si intende per "V_{diff} ha media nulla su f, e in che modo questo mi determina l'unicità di f (almeno su S)?
Sono domande più da fisica che da matematica. Comunque col discorso di sopra quello che ho cercato di dimostrare è che, assumendo $f=g=0$ fuori da $S$, le condizioni che tu hai dato permettono di concludere che $f$ e $g$ generano lo stesso campo elettrico. Infatti il potenziale differenza risolve una equazione di Laplace con condizione al bordo di Neumann nulla. Trai tu le dovute conclusioni fisiche, io in questo momento non sono in grado di farlo.
Quanto alla presenza di altre cariche, esse complicano il problema perché introducono altre condizioni iniziali: ad esempio. la presenza di distribuzioni volumetriche di carica introduce una condizione di Poisson. L'approccio di sopra potrebbe funzionare lo stesso, ma non ne sono sicuro. Puoi provarci.
PS: Media nulla = integrale di superficie che si annulla.
Quanto alla presenza di altre cariche, esse complicano il problema perché introducono altre condizioni iniziali: ad esempio. la presenza di distribuzioni volumetriche di carica introduce una condizione di Poisson. L'approccio di sopra potrebbe funzionare lo stesso, ma non ne sono sicuro. Puoi provarci.
PS: Media nulla = integrale di superficie che si annulla.
Dal punto di vista fisico mi preoccupa molto relativamente, perchè se applico il tutto al volume occupato da un conduttore so che il campo dentro è nullo e quindi laplace basta e avanza .
Piuttosto continuiamo a parlare di matemagica: come hai dedotto che su S $V_{diff}$ ha media nulla su S? Oa costante che hai messo nella condizione al bordo per $V_{diff}$ non dovrebbe essere f-g?
Vorrei ripetere la formalizzazione del mio problema, in modo da ordinare i concetti nella mia mente.
Ho una superficie, e riguardo a una certa f ho questo dato
$\int_S f dS = Q$. (1)
Inoltre ho una funzione $\phi$ che soddisfa
$\nabla^2 \phi=0$ (2)
$(\partial \phi)/(\partial n) = f$ per ogni x in f (3)
Piuttosto continuiamo a parlare di matemagica: come hai dedotto che su S $V_{diff}$ ha media nulla su S? Oa costante che hai messo nella condizione al bordo per $V_{diff}$ non dovrebbe essere f-g?
Vorrei ripetere la formalizzazione del mio problema, in modo da ordinare i concetti nella mia mente.
Ho una superficie, e riguardo a una certa f ho questo dato
$\int_S f dS = Q$. (1)
Inoltre ho una funzione $\phi$ che soddisfa
$\nabla^2 \phi=0$ (2)
$(\partial \phi)/(\partial n) = f$ per ogni x in f (3)
Adesso prendo una funzione g che soddisfa
$\int_S g dS = Q$ (lo stesso valore di prima) (4)
e so che esiste una funzione
$\nabla^2 \psi = 0$ (5)
$(\partial \psi)/(\partial n) = g$ (6)
Date tutte queste condizioni, posso dire che
$f=g$? Se si, perchè?
$\int_S g dS = Q$ (lo stesso valore di prima) (4)
e so che esiste una funzione
$\nabla^2 \psi = 0$ (5)
$(\partial \psi)/(\partial n) = g$ (6)
Date tutte queste condizioni, posso dire che
$f=g$? Se si, perchè?
Hai ragione, è un typo mio: la funzione che ha media nulla è $f-g$, ovvero $(\partial V_"diff") /(\partial \nu)$. Del resto, è questa la cosa giusta per garantire che la condizione di Neumann per $V_"diff"$ sia zero. Correggo.
Con le tue notazioni stiamo dimostrando che $\psi - \phi = "costante"$. Da qui segue subito che $f=g$ prendendo le derivate normali lungo il bordo.
Con le tue notazioni stiamo dimostrando che $\psi - \phi = "costante"$. Da qui segue subito che $f=g$ prendendo le derivate normali lungo il bordo.
Ok, solo alcuni chiarimenti.
Non ho capito come dal fatto che f-g sia a media nulla su S ha dedotto che f-g deve essere una costante.
Parimenti, non ho capito come ha dedotto che tale costante è 0...
Ci sono quasi però!
Non ho capito come dal fatto che f-g sia a media nulla su S ha dedotto che f-g deve essere una costante.
Parimenti, non ho capito come ha dedotto che tale costante è 0...
Ci sono quasi però!
Ma no, non è questo il percorso logico. Forse non mi sono spiegato. Prova a rileggere, forse non ti piace la mia notazione? Ricorda che $f$ e $g$ sono le derivate normali dei rispettivi potenziali. Ci basta quindi dimostrare che i potenziali differiscono per una costante. L'ingrediente principale è il teorema di unicità per il problema di Laplace con condizioni al bordo di Neumann. Lo conosci? E' molto semplice: esso dice che le uniche soluzioni del problema
\[
\begin{cases}
-\Delta V =0 & \text{nella regione interna ad }S\\
\frac{\partial V}{\partial \nu}=0 & \text{su }S
\end{cases}
\]
sono le funzioni $V=\text{costante}$. La dimostrazione è molto semplice: si tratta di osservare che, se $V$ risolve il problema, allora l'integrale dell'energia
\[
\int_{\text{regione interna ad }S} \lvert \nabla V \rvert^2\, d^3x \]
si annulla. Quindi $V$ ha gradiente nullo e pertanto è costante.
\[
\begin{cases}
-\Delta V =0 & \text{nella regione interna ad }S\\
\frac{\partial V}{\partial \nu}=0 & \text{su }S
\end{cases}
\]
sono le funzioni $V=\text{costante}$. La dimostrazione è molto semplice: si tratta di osservare che, se $V$ risolve il problema, allora l'integrale dell'energia
\[
\int_{\text{regione interna ad }S} \lvert \nabla V \rvert^2\, d^3x \]
si annulla. Quindi $V$ ha gradiente nullo e pertanto è costante.
Del teorema di unicita sotto condizione di neumann io conosco un'altra versione. Il teorema che so io dice che la soluzione del problema
$grad^2 V =\rho/{\epsilon0}$ dentro S
$(\partial V)/(\partial n)= f(x)$ nella superficie di S
è unica.
D'altronde non capisco perchè ha imposto f(x) =0...non è vero che la densità superficiale di carica è 0...ho una carica Q spalmata nella superficie e f è proprio la mia incognita...
Quello che mi interessa capire è che, fissato Q esiste una sola distribuzione che mi rende equipotenziali tutti i punti di S. Ovvero vorrei mostrare che esiste una sola funzione f il cui integrale in S è proprio Q e che soddisfa l'equazione di Laplace con condizione al bordo $\partial_n V=f(x)$
Nella fattispecie $\partial_n V =f-g$ nel nostro problema. Che sia f=g è proprio quello che vorrei dimostrare
$grad^2 V =\rho/{\epsilon0}$ dentro S
$(\partial V)/(\partial n)= f(x)$ nella superficie di S
è unica.
D'altronde non capisco perchè ha imposto f(x) =0...non è vero che la densità superficiale di carica è 0...ho una carica Q spalmata nella superficie e f è proprio la mia incognita...
Quello che mi interessa capire è che, fissato Q esiste una sola distribuzione che mi rende equipotenziali tutti i punti di S. Ovvero vorrei mostrare che esiste una sola funzione f il cui integrale in S è proprio Q e che soddisfa l'equazione di Laplace con condizione al bordo $\partial_n V=f(x)$
Nella fattispecie $\partial_n V =f-g$ nel nostro problema. Che sia f=g è proprio quello che vorrei dimostrare
Questo è proprio ciò che abbiamo fatto più su. Devi ragionarci un poco sopra, non possiamo continuare a ripetere sempre le stesse cose. Anche il teorema di unicità è lo stesso, salvo per il fatto che la tua versione è leggermente sbagliata; con condizioni al bordo di tipo Neumann, infatti, non si ha unicità in senso stretto ma solo unicità a meno di una costante additiva.
Perchè nella sua dimostrazione ha scritto che $\partial_n V =0$? E' questo che non mi torna...
il dato al bordo non dovrebbe essere $\partial_n V = f(x)-g(x)$? Non è mica detto che f(x)-g(x) sia costante in ogni punto della superficie S...
il dato al bordo non dovrebbe essere $\partial_n V = f(x)-g(x)$? Non è mica detto che f(x)-g(x) sia costante in ogni punto della superficie S...
Questa è una buona obiezione, mi sa che ho commesso un errore. Per ipotesi noi abbiamo che
\[
V_f=\int_S \frac{f(x')dS(x')}{\lvert x-x'\rvert} =C_f\quad \text{su }S,
\]
e
\[
V_g=\int_S \frac{g(x')dS(x')}{\lvert x-x'\rvert} = C_g \quad \text{su }S,
\]
dove \(C_f\) e \(C_g\) sono due costanti dipendenti da \(f\) e da \(g\). Quindi il potenziale differenza \(V=V_{f-g}\) (precedentemente noto come \(V_{\text{diff}}\)) è costante sul bordo:
\[
V=C_f-C_g\quad \text{su }S.
\]
\[
V_f=\int_S \frac{f(x')dS(x')}{\lvert x-x'\rvert} =C_f\quad \text{su }S,
\]
e
\[
V_g=\int_S \frac{g(x')dS(x')}{\lvert x-x'\rvert} = C_g \quad \text{su }S,
\]
dove \(C_f\) e \(C_g\) sono due costanti dipendenti da \(f\) e da \(g\). Quindi il potenziale differenza \(V=V_{f-g}\) (precedentemente noto come \(V_{\text{diff}}\)) è costante sul bordo:
\[
V=C_f-C_g\quad \text{su }S.
\]
Qui temo di avere confuso \(V\) e la sua derivata normale, perché ho applicato questa ipotesi:
\[
\int f\, dS=\int g\, dS
\]
i.e.
\[
\int_S \frac{\partial V}{\partial \nu}\, dS =0
\]
per concludere che \(\frac{\partial V}{\partial \nu}=0\) su \(S\). Questo ragionamento è sbagliato.
[/list:u:29m908bq]
Si può comunque recuperare. Il potenziale differenza è costante sul bordo, quindi esso è soluzione del problema di Dirichlet
\[
\begin{cases}
-\Delta V =0 & \text{nella regione interna}\\
V=C & \text{su }S
\end{cases}
\]
Una soluzione di questo problema è il potenziale costante uguale \(C\), e per unicità, possiamo concludere che \(V=C\). (Nota che la soluzione del problema di Dirichlet è davvero unica, mentre la soluzione del problema di Neumann è unica a meno di una costante additiva). Questa è la stessa conclusione a cui siamo giunti in precedenza.
In realtà sospetto che ci sia ancora qualche errore nascosto da qualche parte, perché questo ragionamento non usa da nessuna parte il fatto che \(\int f\, dS=\int g\, dS\). Ma ora non ho proprio più tempo da dedicare a questo problema per il momento. Spero di non starti confondendo troppo
Daccordo! Comunque uppo il problema, sperando in qualche buon anima con un pò di tempo in più:)
Ripeto il problema.
Ho due funzioni f,g e una superficie S orientabile.
Ho la seguente condizione
$\int f dS = \int g dS = Q$
inoltre esistono Vf, Vg che risolvono i due problemi di Neumann
$grad^2 V_f = 0$ dentro S
$\partial_n Vf (x) = f(x)$ per ogni x in S
$grad^2 V_g = 0$ dentro S
$\partial_n Vg (x) = g(x)$ per ogni x in S
Altro vincolo: per ogni x in S voglio che sia
$V_f (x) = C$ costante in S
$V_g (x) = D$ costante in S
Domanda. Sotto queste ipotesi, posso dire che f=g? Se si, perchè
TRADUZIONE FISICA: Data una superficie e una carica, esiste una e una sola distribuzione $\sigma$ che rende equipotenziale la superficie? Questo fatto è citato in tutti i testi di elettromagnetismo che ho consultato (o quasi tutti), ma il risultato è dato per ovvio, mentre io ci terrei ad averne una dimostrazione
Ripeto il problema.
Ho due funzioni f,g e una superficie S orientabile.
Ho la seguente condizione
$\int f dS = \int g dS = Q$
inoltre esistono Vf, Vg che risolvono i due problemi di Neumann
$grad^2 V_f = 0$ dentro S
$\partial_n Vf (x) = f(x)$ per ogni x in S
$grad^2 V_g = 0$ dentro S
$\partial_n Vg (x) = g(x)$ per ogni x in S
Altro vincolo: per ogni x in S voglio che sia
$V_f (x) = C$ costante in S
$V_g (x) = D$ costante in S
Domanda. Sotto queste ipotesi, posso dire che f=g? Se si, perchè
TRADUZIONE FISICA: Data una superficie e una carica, esiste una e una sola distribuzione $\sigma$ che rende equipotenziale la superficie? Questo fatto è citato in tutti i testi di elettromagnetismo che ho consultato (o quasi tutti), ma il risultato è dato per ovvio, mentre io ci terrei ad averne una dimostrazione
Come lo hai riscritto, è immediato risolvere il problema con il ragionamento del mio post precedente.
Si. Dimostrazione: La funzione $V=V_f-V_g$ è costante su $S$ ed è soluzione dell'equazione di Laplace. Per l'unicità della soluzione del problema di Dirichlet, $V$ è costante su tutto il volume racchiuso da $S$. Quindi $0=(partial V)/(partial nu)=(partial V_f)/(partial nu) - (partial V_g)/(partial nu)=f-g$.
"newton_1372":
Daccordo! Comunque uppo il problema, sperando in qualche buon anima con un pò di tempo in più:)
Ripeto il problema.
Ho due funzioni f,g e una superficie S orientabile.
Ho la seguente condizione
$\int f dS = \int g dS = Q$
inoltre esistono Vf, Vg che risolvono i due problemi di Neumann
$grad^2 V_f = 0$ dentro S
$\partial_n Vf (x) = f(x)$ per ogni x in S
$grad^2 V_g = 0$ dentro S
$\partial_n Vg (x) = g(x)$ per ogni x in S
Altro vincolo: per ogni x in S voglio che sia
$V_f (x) = C$ costante in S
$V_g (x) = D$ costante in S
Domanda. Sotto queste ipotesi, posso dire che f=g? Se si, perchè
Si. Dimostrazione: La funzione $V=V_f-V_g$ è costante su $S$ ed è soluzione dell'equazione di Laplace. Per l'unicità della soluzione del problema di Dirichlet, $V$ è costante su tutto il volume racchiuso da $S$. Quindi $0=(partial V)/(partial nu)=(partial V_f)/(partial nu) - (partial V_g)/(partial nu)=f-g$.
Non credo sia corretto. E vero cue V e costante nel volume racchiuso da S, ma nulla vieta che V possa crescere in direzione normale quando esco da S. Quindi non e detto che la derivata normale sia 0. D'altronde non hai usato da nessuna parte che f e g hanno lo stesso integrale di superficie (leggi: stessa carica) ma e evidente che se do due cariche diverse non posso ottenere la stessa distribuzione
Si, lo so, capisco questa obiezione. Anche a me puzza, specie il fatto che non uso la carica totale, ma non riesco a trovare l'errore matematico. Sospetto che l'errore sia nella mia interpretazione fisica del problema, per questo ho scritto una domanda qui:
http://physics.stackexchange.com/q/105012/3255
http://physics.stackexchange.com/q/105012/3255
Infatti il problema stava proprio nell'interpretazione fisica: non è necessariamente vero che $V_f$ [rispettivamente $V_g$] debba risolvere il problema
\[
\begin{cases}
-\Delta V_f=0 & V \\
\frac{\partial V_f}{\partial \nu}=f & S.
\end{cases}
\]
(Un controesempio facile c'è nella discussione linkata sopra.)
Tuttavia sono sicuro che la dimostrazione che cerchi passa da un argomento di unicità per il problema di Laplace, qualcosa di simile a ciò che abbiamo fatto qui. Io al momento non posso più occuparmene, e dubito che qualcuno venga a contribuire qui perché la discussione è già andata parecchio avanti. Puoi provare a ripulire un po' il problema e poi a postarlo nella sezione di fisica, se non trovi da solo una soluzione.
\[
\begin{cases}
-\Delta V_f=0 & V \\
\frac{\partial V_f}{\partial \nu}=f & S.
\end{cases}
\]
(Un controesempio facile c'è nella discussione linkata sopra.)
Tuttavia sono sicuro che la dimostrazione che cerchi passa da un argomento di unicità per il problema di Laplace, qualcosa di simile a ciò che abbiamo fatto qui. Io al momento non posso più occuparmene, e dubito che qualcuno venga a contribuire qui perché la discussione è già andata parecchio avanti. Puoi provare a ripulire un po' il problema e poi a postarlo nella sezione di fisica, se non trovi da solo una soluzione.
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