E' vera questa disuguaglianza?
Secondo voi è vera questa disequazione:
$\sum_{cyc}(x_{1}x_{n}\prod_{i=2}^{n-1}x_{i}^{0})<=\sum_{i=1}^{n}x_{i}$?
Io non riesco né a provarla né a confutarla.
Penso però che sia falsa.
Opinioni in merito?
$\sum_{cyc}(x_{1}x_{n}\prod_{i=2}^{n-1}x_{i}^{0})<=\sum_{i=1}^{n}x_{i}$?
Io non riesco né a provarla né a confutarla.
Penso però che sia falsa.
Opinioni in merito?
Risposte
Spiega un po' i simboli...
Ad esempio com'è fatta la somma a primo membro? E perchè i fattori della produttoria hanno $0$ come apice?
P.S.: Proporrei "disuguaglianza"... "Disequazione" fa troppo scuola superiore.
Ad esempio com'è fatta la somma a primo membro? E perchè i fattori della produttoria hanno $0$ come apice?
P.S.: Proporrei "disuguaglianza"... "Disequazione" fa troppo scuola superiore.
Quello che avrei in animo di provare è che, dati e.g. tre valori $x_{1}, x_{2}, x_{3}\in \mathbb{R}$, risulta $x_{1}x_{2} + x_{1}x_{3} + x_{2}x_{3} \leq x_{1}+x_{2}+x_{3}$.
Quella notazione dovrebbe generalizzare la cosa, poiché $\sum_{cyc}f(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots,x_{n})\stackrel[def]{=}f(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots,x_{n}) + f(x_{2},x_{3},x_{4},\ldots,x_{n},x_{1})+f(x_{3},x_{4},x_{5},\ldots,x_{1},x_{2})+\cdots+f(x_{n},x_{n-1},x_{n-2},\ldots,x_{1})$.
Quella notazione dovrebbe generalizzare la cosa, poiché $\sum_{cyc}f(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots,x_{n})\stackrel[def]{=}f(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots,x_{n}) + f(x_{2},x_{3},x_{4},\ldots,x_{n},x_{1})+f(x_{3},x_{4},x_{5},\ldots,x_{1},x_{2})+\cdots+f(x_{n},x_{n-1},x_{n-2},\ldots,x_{1})$.
"WiZaRd":
, dati e.g. tre valori $x_{1}, x_{2}, x_{3}\in \mathbb{R}$, risulta $x_{1}x_{2} + x_{1}x_{3} + x_{2}x_{3} \leq x_{1}+x_{2}+x_{3}$
brutalmente prendili tutti e tre negativi e la disuguaglianza è falsificata...
"WiZaRd":
Quello che avrei in animo di provare è che, dati e.g. tre valori $x_{1}, x_{2}, x_{3}\in \mathbb{R}$, risulta $x_{1}x_{2} + x_{1}x_{3} + x_{2}x_{3} \leq x_{1}+x_{2}+x_{3}$.
Quella notazione dovrebbe generalizzare la cosa, poiché $\sum_{cyc}f(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots,x_{n})\stackrel[def]{=}f(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots,x_{n}) + f(x_{2},x_{3},x_{4},\ldots,x_{n},x_{1})+f(x_{3},x_{4},x_{5},\ldots,x_{1},x_{2})+\cdots+f(x_{n},x_{n-1},x_{n-2},\ldots,x_{1})$.
Oltre al problema messo in evidenza da Thomas (a cui potresti obiettare che prendi solo numeri positivi) c'e' un problema di omogeneita' che rende impossibile
la validita' della disuguaglianza
$x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3\leq x_1+x<_2+x_3$
Se valesse prendendo $tx_1,tx_2,tx_3$, con $t>0$ avresti, per ogni $f>0$
$t^2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)\leq t( x_1+x<_2+x_3)$
che e' impossibile (non puoi maggiorare una parabola con una retta!! - salvo ovviamente il caso $x_1=x_2=x_3=0$)
Innanzitutto vi ringrazio per le risposte.
Inoltre stamane ero arrivato a capire il livello di stro***ta che avevo scritto prendendo [tex]n=2[tex] e [tex]x_{1}=3, x_{2}=8[/tex].
Infine, vi spiego perché ho posto la domanda idiota di cui in oggetto nel presente topic: in questo topic da MathLinks, nel secondo post si pone [tex]q=ab+ac+bc\leqslant3[/tex], partendo da [tex]a+b+c=3[/tex], quindi [tex]ab+bc+ac\leqslant a+b+c[/tex], donde la mia domanda.
Inoltre stamane ero arrivato a capire il livello di stro***ta che avevo scritto prendendo [tex]n=2[tex] e [tex]x_{1}=3, x_{2}=8[/tex].
Infine, vi spiego perché ho posto la domanda idiota di cui in oggetto nel presente topic: in questo topic da MathLinks, nel secondo post si pone [tex]q=ab+ac+bc\leqslant3[/tex], partendo da [tex]a+b+c=3[/tex], quindi [tex]ab+bc+ac\leqslant a+b+c[/tex], donde la mia domanda.
Innanzitutto vi ringrazio per le risposte.
Inoltre stamane ero arrivato a capire il livello di stro***ta che avevo scritto prendendo $n=2$ e $x_{1}=3, x_{2}=8$.
Infine, vi spiego perché ho posto la domanda idiota di cui in oggetto nel presente topic: in questo topic da MathLinks, nel secondo post si pone $q=ab+ac+bc\leq3$, partendo da $a+b+c=3$, quindi $ab+bc+ac\leqslant a+b+c$, donde la mia domanda.
Inoltre stamane ero arrivato a capire il livello di stro***ta che avevo scritto prendendo $n=2$ e $x_{1}=3, x_{2}=8$.
Infine, vi spiego perché ho posto la domanda idiota di cui in oggetto nel presente topic: in questo topic da MathLinks, nel secondo post si pone $q=ab+ac+bc\leq3$, partendo da $a+b+c=3$, quindi $ab+bc+ac\leqslant a+b+c$, donde la mia domanda.
modo brutale per vedere che è vero:
$9=(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$
da cui $max{ab+bc+ca}$ corrisponde al minimo di $a^2+b^2+c^2$... essendo $a+b+c=3$ un iperpiano in R^3, si vede subito anche ad occhio (la prima sfera che tocca il piano è quella tangente) che il minimo è per $a=b=c=1$...(alternativamente lo vedi con la disuguaglianza tra media aritmetica e quadratica) da cui la dis...
$9=(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$
da cui $max{ab+bc+ca}$ corrisponde al minimo di $a^2+b^2+c^2$... essendo $a+b+c=3$ un iperpiano in R^3, si vede subito anche ad occhio (la prima sfera che tocca il piano è quella tangente) che il minimo è per $a=b=c=1$...(alternativamente lo vedi con la disuguaglianza tra media aritmetica e quadratica) da cui la dis...
Ah, OK.
Grazie.
Grazie.
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