E' una serie geometrica??

[Pablitos23]

$\sum_{i=0}^(k-1) 2^i*i = (1-2^(k+1-1)*k+1-1)/(1-2) = 2^k*k-1$ ??

E' giusto risolverla in questo modo?

Grazie e buona giornata.

[feddy]

non è una serie geometrica, poiché non è el tipo
\( \sum^{\infty }_{x=0 } q^n \)

Tu hai applicato il metodo generale che permette di calcolare la somma dei primi k termini della serie geometrica convergente di ragione $q$... ma questo è possibile solo quando $-1ovviamente, tale serie non converge nemmeno perché la condizione necessaria di convergenza, ossia

\( \lim_{x\rightarrow \infty} a_{n} =0 \) , quindi la serie divergerà, in questo caso positivamente.

per quel che riguarda le prime n somme parziali, ho trovato che corrispondono a :

[anto_zoolander]

No.
Mi sono passato il tempo a cercare $S_N$ e devo dire che sono riuscito a calcolare la somma parziale.

$S_N=sum_(n=0)^(N)nq^n=1/(1-q)[(q(1-q^N))/(1-q)-N*q^(N+1)]$

naturalmente al posto di $N$ puoi mettere $k-1$.

Sto mettendo il messaggio, appena finisco metto la dimostrazione.

[anto_zoolander]

finito

$sum_(n=0)^(N)nq^n=0+q+2q^2+3q^3+...+Nq^N$

ora scrivo a cascata queste cose:

${(q+q^2+q^3+...+q^N=sum_(n=1)^(N)q^n),(q^2+q^3+q^4+...+q^N=sum_(n=2)^(N)q^n),(q^3+q^4+q^5+...+q^N=sum_(n=3)^(N)q^n),(...),(q^(N-2)+q^(N-1)+q^N=sum_(n=N-2)^(N)q^n),(q^(N-1)+q^(N)=sum_(n=N-1)^(N)q^n),(q^(N)=sum_(n=N)^(N)q^n):}$

ne convieni che sono tutti i termini della serie?

dunque sommando tutto membro a membro ottengo questa uguaglianza:

$sum_(n=0)^(N)nq^n=sum_(n=1)^(N)q^n+sum_(n=2)^(N)q^n+...+sum_(n=N)^(N)q^n$

ovvero $sum_(n=0)^(N)nq^n=sum_(k=1)^(N)[sum_(n=k)^(N)q^n]$

ora la somma più interna è posso scriverla come:

$sum_(n=0)^(k-1)q^n+sum_(n=k)^(N)q^n-sum_(n=0)^(k-1)q^n=sum_(n=0)^(N)q^n-sum_(n=0)^(k-1)q^n$

dunque $sum_(n=0)^(N)nq^n=sum_(k=1)^(N)[sum_(n=0)^(N)q^n-sum_(n=0)^(k-1)q^n]$

ma quelle sono due serie geometriche.

$sum_(k=1)^(N)[(1-q^(N+1))/(1-q)-(1-q^((k-1)+1))/(1-q)]=1/(1-q)*sum_(k=1)^(N)[q^k-q^(N+1)]$

ora raccolgo il termine $q^(N+1) -> q^(N+1)/(1-q)*sum_(k=1)^(N)[q^(k-(N+1))-1]$

ora porto fuori $-1$ ottenendo $q^(N+1)/(1-q)*(sum_(k=1)^(N)[q^(k-(N+1))]-N)$

sistemo l'indice $q^(N+1)/(1-q)*(1/q^(N+1)sum_(k=0)^(N)[q^(k)]-q^(-(N+1))-N)$

ora abbiamo ottenuto l'ultima serie geometrica...

$q^(N+1)/(1-q)*((1-q^(N+1))/((1-q)q^(N+1))-q^(-(N+1))-N)$

il resto sono conti spicci

[anto_zoolander]

"feddy":non è una serie geometrica, poiché non è el tipo
\( \sum^{\infty }_{x=0 } q^n \)

Tu hai applicato il metodo generale che permette di calcolare la somma dei primi k termini della serie geometrica convergente di ragione $q$... ma questo è possibile solo quando $-1ovviamente, tale serie non converge nemmeno perché la condizione necessaria di convergenza, ossia

\( \lim_{x\rightarrow \infty} a_{n} =0 \) , quindi la serie divergerà, in questo caso positivamente.

per quel che riguarda le prime n somme parziali, ho trovato che corrispondono a :

La serie geometrica convergente non si può sentire però
Lui sta' calcolando la somma parziale, quindi parlare di convergenza non ha molto senso.

Poi anche se, esiste la formula per la serie geometrica $sum_(n=0)^(k)q^n=(1-q^(k+1))/(1-q)$
Lui non sta' operando a limite, quindi non ha senso parlarne.
Infatti come hai potuto vedere, la somma parziale l'ho calcolata.