E' un numero complesso questo?

[olanda2000]

$ -(-1)^(1/5) $

Per me è reale,non capisco perchè il libro lo scriva così rappresentandolo sul piano complesso:

$ -1/4 - sqrt(5)/4 - i sqrt(5/8 - sqrt(5)/8) $



Grazie

[Palliit]

Basta pensarlo come $-(i)^(2/5)$.

[Mathita]

La risposta è "dipende!". Se stai lavorando nell'insieme dei numeri reali, $-(-1)^{\frac{1}{5}}=-(-1)=1$. Se invece stai lavorano nell'insieme dei numeri complessi, $-(-1)^{\frac{1}{5}}$ rappresenta tutti e soli i numeri complessi $z$ tali che $z^5=1$.

[olanda2000]

"Palliit":Basta pensarlo come $-(i)^(2/5)$.

ok, perchè i^2 = -1

però non so ricavare la parte reale e la parte immaginaria del numero.

Io credevo che un numero reale a si scrivesse come a+ib con b =0 ( b = parte immaginaria).

Non capisco perchè un numero reale qui ha parte immaginaria diversa da zero!

[gugo82]

In $CC$, usualmente, il simbolo $(-1)^(1/5)$ non ha un significato univoco e denota una delle cinque radici quinte di $-1$.
Può darsi che il tuo testo scelga di denotare con tale simbolo una particolare tra le cinque determinazioni della radice... Dovresti controllare.


@Mathita: Di solito, la potenza ad esponente razionale positivo in campo reale prende argomenti $>=0$.
La radice, invece, prende anche argomenti negativi quando l'indice è dispari.
In altre parole, mentre \(\sqrt[5]{a}\) è ben definito per $a<0$ (e si definisce ponendo \(:= -(-a)^{1/5}\)), il simbolo \(a^{1/5}\) non ha significato per $a<0$.

[olanda2000]

"gugo82":In $CC$, usualmente, il simbolo $(-1)^(1/5)$ non ha un significato univoco e denota una delle cinque radici quinte di $-1$.
Può darsi che il tuo testo scelga di denotare con tale simbolo una particolare tra le cinque determinazioni della radice...

ok, adesso ho capito grazie

[Mathita]

"gugo82":@Mathita: Di solito, la potenza ad esponente razionale positivo in campo reale prende argomenti $>=0$.
La radice, invece, prende anche argomenti negativi quando l'indice è dispari.
In altre parole, mentre \(\sqrt[5]{a}\) è ben definito per $a<0$ (e si definisce ponendo \(:= -(-a)^{1/5}\)), il simbolo \(a^{1/5}\) non ha significato per $a<0$.

Sì, sapevo di questo problema, anche se a quanto pare non esiste ancora univocità nelle notazioni/definizioni (un po' come la diatriba sui punti di discontinuità). Tenterò di stare più attento in futuro. Grazie Gugo82!

[olanda2000]

"gugo82":In $CC$, usualmente, il simbolo $(-1)^(1/5)$ non ha un significato univoco e denota una delle cinque radici quinte di $-1$.

Il fatto che nel campo complesso esistano N radici N-esime corrisponde al teorema che dice che nel campo complesso ogni equazione polinomiale di grado N ammette N soluzioni? Grazie

[gugo82]

No.

Il secondo, che si chiama Teorema Fondamentale dell'Algebra, è più generale.

[olanda2000]

"gugo82":No.

Il secondo, che si chiama Teorema Fondamentale dell'Algebra, è più generale.

Quindi il fatto che nel campo complesso esistano N radici N-esime è una conseguenza del Teorema Fondamentale dell'Algebra?

[gugo82]

"olanda2000":[quote="gugo82"]No.

Il secondo, che si chiama Teorema Fondamentale dell'Algebra, è più generale.

Quindi il fatto che nel campo complesso esistano N radici N-esime è una conseguenza del Teorema Fondamentale dell'Algebra?
Cioè scrivere l'equazione $ x^5 -1 = 0 $
equivale a scrivere
$ x = (1)^(1/5) $ ? grazie[/quote]
Come detto, il simbolo $z^{1/5}$ non ha significato univoco in $CC$, perciò va adoperato con cautela.
Cerca di non usarlo.

Per tornare alla questione, il fatto che ogni numero complesso $zeta !=0$ abbia esattamente $n$ radici $n$-esime puoi vederlo come conseguenza del TFdA: infatti, segue dal fatto che il polinomio $z^n - zeta$ ha tutte le sue radici in $CC$.

Tuttavia, questa proprietà (esistenza di $n$ radici) si dimostra anche senza ricorrere al TFdA, con il solito trucco che si trova su ogni testo di Analisi I. Tale trucco ha il pregio di fornire una formula per il calcolo delle radici che non può essere ricavata applicando il TFdA.