E' un argomentazione sufficiente?

[alfredo14]

Mi chiedo se per affermare che il seguente limite è pari a $+oo$ è sufficiente dire che:
per x che tende a $+oo$ la radice di x tende a $+oo$ ed il termine tra parentesi è sempre positivo.

$lim_{x\to+oo}\sqrt(x)*(2+cosx)=+oo$

[Fioravante Patrone1]

"alfredo":Mi chiedo se per affermare che il seguente limite è pari a $+oo$ è sufficiente dire che:
per x che tende a $+oo$ la radice di x tende a $+oo$ ed il termine tra parentesi è sempre positivo.

$lim_{x\to+oo}\sqrt(x)*(2+cosx)=+oo$

no. Ad esempio, $lim_{x\to+oo}\sqrt(x)* frac{1}{x}=0$
Basta che il termine fra parentesi sia sempre maggiore o uguale di un $\alpha$ positivo.
Nel tuo caso, $2+cosx \ge 1$

[alfredo14]

Basta che il termine fra parentesi sia sempre maggiore o uguale di un α positivo.
Nel tuo caso, 2+cosx≥1

Scusa, ma che differenza c'è fra positivo e maggiore di un $alfa$ positivo se poi non poni qualche limitazione su $alfa$? Forse mi sfugge qualcosa.

[Fioravante Patrone1]

ok, Sergio, no comment


già che ci sono, osservo che: (1) implica (2) e che (2) che è equivalente a (3)
[sto assumendo che $\alpha \in RR$ e che $f : RR to RR$; se $f$ è definita su $A \sube RR$ vanno fatte delle modifiche ovvie]

(1) $EE \alpha > 0$ t.c. $AA x$ è $f(x) > \alpha$

(2) $AA x$ $EE \alpha > 0$ t.c. $f(x) > \alpha$

(3) $AA x$ $f(x) > 0$

che (2) implichi (3) è ovvio
per provare che (3) implica (2) basta prendere $\alpha = f(x)/2$

l'esempio di Sergio mostra che non è vero che (3) implica (2)

[alfredo14]

Ho capito. In realtà io mi preoccupavo che il termine tra parentesi, oscillante, non assumesse valori negativi per x tendente a $+oo$. Diversamente sarebbe stato necessario studiare appunto questo segno per determinare, poi, se porre il limite uguale a $+oo$ o a $-oo$.

Invece Fioravante evidenziava un altro aspetto che sulle prime non avevo compreso: il fatto che 1/x ha una velocità verso lo zero maggiore di quella che possiede $x^(1/2)$ verso $oo$.

Grazie mille.