E se non so calcolare un limite?
Consideriamo la successione di termine generale
\[ a_n = \frac{(-1)^n}{n} \]
Voglio studiare
\[ \lim_{n \rightarrow +\infty} a_n \]
So che tale limite fa $ 0 $ (nè dalla destra, nè dalla sinistra).
Voglio mostrare questo risultato utilizzando i teoremi sui limiti.
Abbiamo
\[ \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{(-1)^n}{n} \]
Ma la successione di termine generale \( (-1)^n \) è irregolare, dunque non posso applicare il teorema che dice
\[ \frac{a_n}{b_n} \longrightarrow \frac{a}{b} \]
dove $ a $ e $ b $ sono i limiti delle successioni $ a_n $ e $ b_n $.
È allora possibile calcolare questo limite o devo ricorrere alla definizione? Come faccio invece se non conosco a priori il risultato di questo limite?
\[ a_n = \frac{(-1)^n}{n} \]
Voglio studiare
\[ \lim_{n \rightarrow +\infty} a_n \]
So che tale limite fa $ 0 $ (nè dalla destra, nè dalla sinistra).
Voglio mostrare questo risultato utilizzando i teoremi sui limiti.
Abbiamo
\[ \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{(-1)^n}{n} \]
Ma la successione di termine generale \( (-1)^n \) è irregolare, dunque non posso applicare il teorema che dice
\[ \frac{a_n}{b_n} \longrightarrow \frac{a}{b} \]
dove $ a $ e $ b $ sono i limiti delle successioni $ a_n $ e $ b_n $.
È allora possibile calcolare questo limite o devo ricorrere alla definizione? Come faccio invece se non conosco a priori il risultato di questo limite?
Risposte
Usa il teorema del confronto: \(0\leq |a_n| \leq 1/n\) per ogni \(n\) più il fatto che \(1/n\to 0\) implica che \(|a_n|\to 0\), dunque \(a_n \to 0\).
"Rigel":
Usa il teorema del confronto
Non credo sia necessario, se si osserva che
\[ \left \vert a_n \right \vert = \left \vert \frac{(-1)^n}{n} \right \vert = \frac{1}{n} \]
Dunque
\[ \lim_{n \rightarrow +\infty} \left \vert a_n \right \vert = 0^+ \]
Ora vorrei portare alla tua attenzione il fatto che ho aggiunto che il limite è per eccesso: tale necessità è dovuta all'applicazione dell'aritmetizzazione parziale di $ \infty $ nel calcolo del limite di \( \left \lbrace \frac{1}{n} \right \rbrace \).
Ma come faccio allora a dire che il limite fa $ 0 $ nè dalla destra, nè dalla sinistra?
C'è un bel teorema sui limiti che ti dice che se moltiplichi una successione limitata, come quella di termine generale \((-1)^n\), per una successione infinitesima, quale quella di termine generale \(1/n\), ottieni una successione infinitesima, nel caso \((-1)^n/n\).
Il teorema è dimostrabile in maniera semplicissima (si applica il teorema dei carabinieri) e lo lascio fare a te.
Per dire, infine, che la tua successione non conserva né segno positivo né segno negativo al crescere di \(n\) basta ossevare che i suoi termini di posto pari [risp. dispari] sono tutti positivi [risp. negativi].
Il teorema è dimostrabile in maniera semplicissima (si applica il teorema dei carabinieri) e lo lascio fare a te.
Per dire, infine, che la tua successione non conserva né segno positivo né segno negativo al crescere di \(n\) basta ossevare che i suoi termini di posto pari [risp. dispari] sono tutti positivi [risp. negativi].
Ti ringrazio.
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