E se ho questo dominio??
Calcolare l'integrale di questa funzione: f(x,y)=$1/4($y^2$-$x^2$)(y+x)+(y-x)$
avendo solo questo dominio: D= x+2$<=$y$<=$x+4
????
avendo solo questo dominio: D= x+2$<=$y$<=$x+4
????
Risposte
ho sbagliato a scrivere la funzione, quella giusta è questa:
f(x,y)=$1/[4($y^2$-$x^2$)(y+x)+(y-x)]$
il dominio è lo stesso!!!
f(x,y)=$1/[4($y^2$-$x^2$)(y+x)+(y-x)]$
il dominio è lo stesso!!!
capista ragazzi non riesco a farla vedere fratta, cmq
$1/[4(y^2-x^2)(x+y)+(y-x)]$
speriamo che sia chiaro!!!
[size=75]Modificato da: stellacometa2003 [/size]
$1/[4(y^2-x^2)(x+y)+(y-x)]$
speriamo che sia chiaro!!!
[size=75]Modificato da: stellacometa2003 [/size]
E' chiaro.
Per quali valori di x e y il denominatore si annulla ?
Innanzitutto per (0,0). Ma più in generale per tutti i valori tali che $y=x$. E questo perchè il denominatore lo puoi scrivere come
$(y - x)(4x^2 + 8xy + 4y^2 + 1)$
E dunque si annulla per $y=x$
Il dominio dunque è $bbb R^2-{(x,y)} AA x,y $tale che$ x=y$
Quello che non ho capito è cosa vuoi farci con quella funzione. Un integrale curvilineo ( su quale curva?)? Un integrale doppio sul dominio D ?
Spiegati...
Per quali valori di x e y il denominatore si annulla ?
Innanzitutto per (0,0). Ma più in generale per tutti i valori tali che $y=x$. E questo perchè il denominatore lo puoi scrivere come
$(y - x)(4x^2 + 8xy + 4y^2 + 1)$
E dunque si annulla per $y=x$
Il dominio dunque è $bbb R^2-{(x,y)} AA x,y $tale che$ x=y$
Quello che non ho capito è cosa vuoi farci con quella funzione. Un integrale curvilineo ( su quale curva?)? Un integrale doppio sul dominio D ?
Spiegati...
In pratica, in devo calcolare l'integrale di questa funzione avendo solo quel dominio.
dal dominio,penso, che dovrei trovarmi gli estremi dell'integrale e il cambiamento di variabile!!
non so se sono stato chiaro....
dal dominio,penso, che dovrei trovarmi gli estremi dell'integrale e il cambiamento di variabile!!
non so se sono stato chiaro....
Mah...
Il dominio su cui calcoli l'integrale è una striscia compresa tra le rette y=x+4 e y=x+2.
A primo impatto, la cosa mi puzza,visto che il dominio della funzione integranda non ci è molto utile...
Forse cii servirebbero altre informazioni.Tipo gli estremi di x.
Il dominio su cui calcoli l'integrale è una striscia compresa tra le rette y=x+4 e y=x+2.
A primo impatto, la cosa mi puzza,visto che il dominio della funzione integranda non ci è molto utile...
Forse cii servirebbero altre informazioni.Tipo gli estremi di x.
Allora, il fatto è così:
io ho questa funzione: f(x,y)=$1/(4(y^2-x^2)(y+x)+(y-x))$
e questo dominio: $x+2<=y<=x+4$ e $-k-x<=y<=k-x$ con k appertenente a $(0,oo$)
dopo aver disegnato il dominio, mi si chiede un cambiamento di variabile che ne consenta il calcolo, allora cosa faccio io,
dal dominio mi trovo u=y-x e v=y+x per poter sostituire queste variabili devo trovare un modo per sostituire anche quel $y^2-x^2$ e cosa faccio, vedo che $y^2-x^2$ non è altro che u*v , mi trovo anche il dxdy attuando il jacopiano di cui mi risulta dxdy=$-1/2$dudv (qualcuno potrebbe controllare???)
Poi mi si chiede il valore dell'integrale in questo dominio: la funzione a questo punto diventa: f(u,v)=$1/(4(u*v)(v)+(u))$ che andrò ad integrare con du tra 2 e 4 e in dv tra -k e k naturalmente aggiungendo nell'integrale il dxdy=$-1/2$dudv
il valore dell'integrale (se ho fatto giusti i conti) è $(-log(2)/2)(arctg(2k)$
ora arriviamo al punto di questa discussione: mi si da sempre la stessa funzione, per intenderci la f(x,y), e
questo dominio $x+2<=y<=x+4$
e mi si richiede il valore dell'integrale in questo dominio.....
come procedo?
io ho questa funzione: f(x,y)=$1/(4(y^2-x^2)(y+x)+(y-x))$
e questo dominio: $x+2<=y<=x+4$ e $-k-x<=y<=k-x$ con k appertenente a $(0,oo$)
dopo aver disegnato il dominio, mi si chiede un cambiamento di variabile che ne consenta il calcolo, allora cosa faccio io,
dal dominio mi trovo u=y-x e v=y+x per poter sostituire queste variabili devo trovare un modo per sostituire anche quel $y^2-x^2$ e cosa faccio, vedo che $y^2-x^2$ non è altro che u*v , mi trovo anche il dxdy attuando il jacopiano di cui mi risulta dxdy=$-1/2$dudv (qualcuno potrebbe controllare???)
Poi mi si chiede il valore dell'integrale in questo dominio: la funzione a questo punto diventa: f(u,v)=$1/(4(u*v)(v)+(u))$ che andrò ad integrare con du tra 2 e 4 e in dv tra -k e k naturalmente aggiungendo nell'integrale il dxdy=$-1/2$dudv
il valore dell'integrale (se ho fatto giusti i conti) è $(-log(2)/2)(arctg(2k)$
ora arriviamo al punto di questa discussione: mi si da sempre la stessa funzione, per intenderci la f(x,y), e
questo dominio $x+2<=y<=x+4$
e mi si richiede il valore dell'integrale in questo dominio.....
come procedo?
La striscia tra x+4 e x+2 non è un dominio normale regolare. Ci serve una qualche condizione che lo limiti superiormente e inferiormete, altrimenti non puoi integrare, visto che l'integrale doppio è stato definito su domini regolari!
Il dominio che ti hanno dato non è normale!
Il dominio che ti hanno dato non è normale!
Cosa intendi quando dici che non è normale??...
credici oppure no.... ma questo esercizio che vi ho illustrato mi è capitato ad un esami di calcolo 3.
credici oppure no.... ma questo esercizio che vi ho illustrato mi è capitato ad un esami di calcolo 3.
Non è che non ci credo, ma il dubbio sul fatto che si possa fare mi resta... Indagherò...
Domini normali ? Un dominio normale di $bbbR^2$ rispetto ad x, ad esempio, è per definizione :
$D: { (a<=x<=b) and (f(x)
In pratica abbiamo un dominio normale rispetto se possiamo "racchiuderlo" tra due estremi rispetto a x, e tra due funzioni rispetto a y.
Domini normali ? Un dominio normale di $bbbR^2$ rispetto ad x, ad esempio, è per definizione :
$D: { (a<=x<=b) and (f(x)
In pratica abbiamo un dominio normale rispetto se possiamo "racchiuderlo" tra due estremi rispetto a x, e tra due funzioni rispetto a y.
Poniamo $x-y = u$ ed $x+y = v$, cosicché $x = (u+v)/2$ ed $y = (v-u)/2$. Si vuole $x+2 \le y \le x+4$, e perciò $u+v+4 \le v-u \le u+v+8$, e.g. $-4 \le u \le -2$, con $v \in \mathbb{R}$. Posto dunque $D := \{(x,y) \in \mathbb{R}^2: x+2 \le y \le x+4\}$ e $T(D) := \{(u,v) \in \mathbb{R}^2: -4 \le u \le -2\}$, vale $\int_{D} f(x,y) dx dy = 1/2 * \int_{T(D)} f(x(u,v), y(u,v)) du dv = (\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dv}{4v^2 + 1} \cdot \int_{-4}^{-2} \frac{du}{u})$. Evidentemente trattasi di integrale improprio. Il calcolo è banale, dunque mi guardo bene dal portarlo a termine!
Ecco...
Avevo paventato l'ipotesi che uno dei due integrali iterati potesse essere un'integrale improprio, ma sinceramente non li ho mai incontrati e volevo evitare di dire fesserie.... Anche perchè temevo ci fossero delle condizioni aggiuntive per l'integrabilità...
A parte gli estremi a infinito, il procedimento, emiliu, è sempre quello...
Avevo paventato l'ipotesi che uno dei due integrali iterati potesse essere un'integrale improprio, ma sinceramente non li ho mai incontrati e volevo evitare di dire fesserie.... Anche perchè temevo ci fossero delle condizioni aggiuntive per l'integrabilità...
A parte gli estremi a infinito, il procedimento, emiliu, è sempre quello...
Ehm....
ma scusate.. ma gli estremi di u non sono sempre $2<=u<=4$????
poi a me risultano $x=(v-u)/2$ e $y=(v+u)/2$
da cui poi con il jacopiano mi trovo dxdy, ok....
vabbè che gli estremi di dv vanno da $-oo$ a $+oo$ ho pensato che lo potevo percepire benissimo dal grafico,o no??
ma scusate.. ma gli estremi di u non sono sempre $2<=u<=4$????
poi a me risultano $x=(v-u)/2$ e $y=(v+u)/2$
da cui poi con il jacopiano mi trovo dxdy, ok....
vabbè che gli estremi di dv vanno da $-oo$ a $+oo$ ho pensato che lo potevo percepire benissimo dal grafico,o no??
Si vede dal dominio: è una striscia verticale ( non è limitata)!
Non ero certo che si potesse integrare tra $+inf$ e $-inf$ e per questo non l'ho tirato fuori...
Visto che in realtà si può fare, l'esercizio è bello e fatto...
Non ero certo che si potesse integrare tra $+inf$ e $-inf$ e per questo non l'ho tirato fuori...
Visto che in realtà si può fare, l'esercizio è bello e fatto...
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