E questo limite come si fa?

[maion1]

Ciao a tutti e buona domenica.

Ho provato con tutte letecniche che conosco, ma mi sembran fallire miseramente tutte contro: $lim_(x->oo) (logx)^(1/x)$

[pilloeffe]

Ciao maion,

Col "solito trucchetto":

$ \lim_(x \to +\infty) (logx)^(1/x) = \lim_(x \to +\infty) e^{\frac{logx}{x}} = 1 $

[maion1]

Ciao,

in realtà ho fatto così ma non dovrebbe essere: $e^(log(logn)^(1/n))=e^(log((1/n)(logn)))$?

[pilloeffe]

Sì scusami, hai ragione, mi sono perso una $f $...
In realtà volevo scrivere:

$ \lim_(x \to +\infty) e^{\frac{log[f(x)]}{x}} = 1 $

ove $f(x) := log x $

[maion1]

Figurati! allora credo mi sfugga quella proprietà: perché al limite indicato sopra $log(f(x))/x=0$? Io la sapevo $log(x)/x=0$ penso discenda da questa gerarchia di infiniti, ma come si dimostra a partire dalla seconda che vale anche se l'argomento è una funzione di x?

Grazie

[pilloeffe]

"maion":Grazie

Prego!
Ok, ti scrivo qualche passaggio in più:

$ \lim_(x \to +\infty) e^{\frac{log[log(x)]}{x}} = \lim_(x \to +\infty) e^{\frac{log[log(x)]}{log(x)} \cdot \frac{log(x)}{x}} = e^{0 \cdot 0} = 1 $

Ti è più chiaro così? Basta porre $t := log(x) $ e naturalmente $t \to +\infty $...

[maion1]

Eh si mi ero perso in un bicchier d'acqua.

Siete sempre chiari e gentilissimi. Grazie ancora e buona domenica !