E o 2?
Supponiamo di avere una certa quantità $y(t)$ che cresca come la sua derivata. Se assumiamo che all'istante 0 la quantità valga 1, allora $y(t)=e^t$.
Ora rifacciamo tutto con una variabile discreta $n$ invece della $t$ di prima. Per la quantità $y_n$ mi sembra che la cosa più simile a $y'(t)=y(t)$ sia richiedere che $y_n-y_(n-1)=y_(n-1)$. Se assumiamo di nuovo che $y_0=1$, ricaviamo $y_n=2^n$.
Io invece, molto ingenuamente, avevo pensato di ritrovarmi $e$ anche nel secondo caso. Qual è il motivo di questa differenza?
Ora rifacciamo tutto con una variabile discreta $n$ invece della $t$ di prima. Per la quantità $y_n$ mi sembra che la cosa più simile a $y'(t)=y(t)$ sia richiedere che $y_n-y_(n-1)=y_(n-1)$. Se assumiamo di nuovo che $y_0=1$, ricaviamo $y_n=2^n$.
Io invece, molto ingenuamente, avevo pensato di ritrovarmi $e$ anche nel secondo caso. Qual è il motivo di questa differenza?
Risposte
Pensiamo a un altro problema (apparentemente)
Fissiamo un $\delta>0$ e consideriamo la successione definita ricorsivamente da
$a_0=1$, $\frac{a_{n+1}-a_n}{\delta}=a_n$
(buono, non protestare subito ...)
Ne ricaviamo $a_{n+1}=(1+\delta)a_n$ da cui $a_n=(1+\delta)^n$
Ora definiamo la funzione $y_\delta(x)$ per $x$ della forma $n\delta$, ponendo $y_\delta(n\delta)=a_n$ e diciamo che tra
$n\delta$ e $(n+1)\delta$ prendiamo la funzione costante a tratti. Allora la $y_\delta$ assume la forma (indico con $[t]$ la parte intera di $t$)
$y_\delta(x)=a_{[x/\delta]}=(1+\delta)^{[x/\delta]}$
Nota che $\frac{y_\delta(x+\delta)-y_\delta(x)}{\delta}=y_\delta(x)$ per gli $x$ della forma $n\delta$ !!!
Lascio a te dimostare che, per $\delta\to0$, si ha $y_\delta\to e^x$ (uniformemente sui compatti, credo).
Fissiamo un $\delta>0$ e consideriamo la successione definita ricorsivamente da
$a_0=1$, $\frac{a_{n+1}-a_n}{\delta}=a_n$
(buono, non protestare subito ...)
Ne ricaviamo $a_{n+1}=(1+\delta)a_n$ da cui $a_n=(1+\delta)^n$
Ora definiamo la funzione $y_\delta(x)$ per $x$ della forma $n\delta$, ponendo $y_\delta(n\delta)=a_n$ e diciamo che tra
$n\delta$ e $(n+1)\delta$ prendiamo la funzione costante a tratti. Allora la $y_\delta$ assume la forma (indico con $[t]$ la parte intera di $t$)
$y_\delta(x)=a_{[x/\delta]}=(1+\delta)^{[x/\delta]}$
Nota che $\frac{y_\delta(x+\delta)-y_\delta(x)}{\delta}=y_\delta(x)$ per gli $x$ della forma $n\delta$ !!!
Lascio a te dimostare che, per $\delta\to0$, si ha $y_\delta\to e^x$ (uniformemente sui compatti, credo).
Condivido quanto detto da VGE (ci mancherebbe!).
Ma mi piace rigirare il coltello nella piaga. E allora:
Non hai il senso dei soldi.
Gli interessi composti
Da matematico, vergognati di immaginare di trovare usa soluzione irrazionale (financo trascendente!) da una equazione di primo grado
E, poi, mai visto il metodo delle tangenti e quel disegnino con il segmentino (i segmentini) che stanno sotto al grafico?
[size=75]Quasi quasi ti cancello un centinaio di messaggi assortiti per impedirti di ricevere la maglietta da "supporter". Che vergogna sarebbe per il sito e forum se tu la "sfoggiassi"!!!
[/size]
[size=59]PS: il mio tasso alcolico è 0.[/size]
[size=42]Comunque è assolutamente fondamentale avere il coraggio di fare sempre domande, anche a rischio di esporsi a lazzi e frizzi. Complimenti sinceri.[/size]
Ma mi piace rigirare il coltello nella piaga. E allora:
Non hai il senso dei soldi.
Gli interessi composti
Da matematico, vergognati di immaginare di trovare usa soluzione irrazionale (financo trascendente!) da una equazione di primo grado
E, poi, mai visto il metodo delle tangenti e quel disegnino con il segmentino (i segmentini) che stanno sotto al grafico?
[size=75]Quasi quasi ti cancello un centinaio di messaggi assortiti per impedirti di ricevere la maglietta da "supporter". Che vergogna sarebbe per il sito e forum se tu la "sfoggiassi"!!!
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[size=59]PS: il mio tasso alcolico è 0.[/size]
[size=42]Comunque è assolutamente fondamentale avere il coraggio di fare sempre domande, anche a rischio di esporsi a lazzi e frizzi. Complimenti sinceri.[/size]
mamma mia che lavata di capo... 
Dunque, mi pare di capire dalla successione di V.G.E. e da
che il motivo per cui sto prendendo questo bagno è che non ho mai riflettuto seriamente sul limite
$lim_{n\toinfty}(1+delta/n)^n="exp"(delta)$
che difatti ho sempre considerato poco più che un giochino per risolvere gli esercizi dell'esame.
Leggo sul mio libro di analisi del primo anno (Avantaggiati 1) che, se riceviamo in prestito una somma $C_0$ ad un tasso di interesse annuale $delta$, e supponiamo di effettuare una capitalizzazione ogni $1/m$ di anno, al termine del primo anno il capitale da restituire sarà $C_m=C_0(1+delta/m)^m$. Questa successione $C_k$ poi è esattamente quella proposta da V.G.E. solo che invece di $delta$ ho scritto $delta/m$ per motivo di comodo.
Questo significa che io, pensando di trovare $e$ già nel discreto, mi sono stupito (scioccamente) del fatto che una banca guadagni somme diverse scegliendo di capitalizzare i suoi crediti ogni mese, ogni giorno, ogni secondo o in continuo.
Ovviamente una banca guadagna sempre di più quanto più ravvicinate sono le capitalizzazioni, ma (per fortuna) non può andare oltre un certo limite che guarda caso noi conosciamo bene: $e^delta$.
Dunque, mi pare di capire dalla successione di V.G.E. e da
"Fioravante Patrone":
interessi composti
che il motivo per cui sto prendendo questo bagno è che non ho mai riflettuto seriamente sul limite
$lim_{n\toinfty}(1+delta/n)^n="exp"(delta)$
che difatti ho sempre considerato poco più che un giochino per risolvere gli esercizi dell'esame.
Leggo sul mio libro di analisi del primo anno (Avantaggiati 1) che, se riceviamo in prestito una somma $C_0$ ad un tasso di interesse annuale $delta$, e supponiamo di effettuare una capitalizzazione ogni $1/m$ di anno, al termine del primo anno il capitale da restituire sarà $C_m=C_0(1+delta/m)^m$. Questa successione $C_k$ poi è esattamente quella proposta da V.G.E. solo che invece di $delta$ ho scritto $delta/m$ per motivo di comodo.
Questo significa che io, pensando di trovare $e$ già nel discreto, mi sono stupito (scioccamente) del fatto che una banca guadagni somme diverse scegliendo di capitalizzare i suoi crediti ogni mese, ogni giorno, ogni secondo o in continuo.
Ovviamente una banca guadagna sempre di più quanto più ravvicinate sono le capitalizzazioni, ma (per fortuna) non può andare oltre un certo limite che guarda caso noi conosciamo bene: $e^delta$.
Maddai, nessuno shampoo! E' solo che l'occasione era troppo invitante. Una specie di passaggio smarcante davanti alla porta vuota...
E poi spero avrai letto come la penso davvero
E poi spero avrai letto come la penso davvero
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