E' lecita questa dimostrazione?

[anima123]

Dimostrazione della derivata direzionale di una funzione differenziabile :

Partiamo con la formula della derivata direzionale :

$\frac{\delta f}{\delta \lambda}(x,y) = \lim_(t->0) \frac{f(x + t\alpha, y + t\beta) - f(x,y)}{t}$

Considero il punto $(x,y)$ come un vettore $\vec v = (x,y)$, e $\lambda = (\alpha,\beta)$. Quindi riscrivo il limite :

$\lim_(t->0) \frac{f(\vec v +t \lambda) - f(\vec v)}{t}$
Vediamo ciò come la derivata prima di f. Quindi, usando la definizione di derivata di una funzione composta :

$f'(x,y) = f_x(x + t\alpha, y + t\beta)\alpha + f_y(x + t\alpha, y + t\beta)\beta$. Per $t=0$ si ha :

$f'(t) = f_x(x,y)\alpha + f_y(x,y)\beta$, CVD

Come vi sembra questa dimostrazione?

[Giuly191]

Io non ho nemmeno capito cosa stai cercando di dimostrare, la derivata direzionale è una definizione, non c'è nulla da dimostrare.
Secondo me tu vuoi provare che data una funzione $f: E sube RR^n -> R$ differenziabile in un punto $ul(a) in E$ allora vale:
$D_(ul(v)) f(ul(a)) = grad f(ul(a)) * ul(v)$, cioè ogni derivata direzionale è data dal prodotto scalare del gradiente della funzione in quel punto per il versore $ul(v)$. E' così?

[anima123]

si. Sul libro c'è una dimostrazione ma come l'ho scritta io mi trovo meglio con il ragionamento.

[Giuly191]

"anima123":
Vediamo ciò come la derivata prima di f. Quindi, usando la definizione di derivata di una funzione composta :

$f'(x,y) = f_x(x + t\alpha, y + t\beta)\alpha + f_y(x + t\alpha, y + t\beta)\beta$. Per $t=0$ si ha :

$f'(t) = f_x(x,y)\alpha + f_y(x,y)\beta$, CVD

Non ho proprio capito che fai qua, prova a spiegarti meglio. (Non ha nessun senso scrivere $f'(x,y)$)
In ogni caso non mi pare di vedere l'ipotesi di differenziabilità della $f$ sfruttata da qualche parte..