E' giusto questo sviluppo di Laurent?
Ciao a tutti,
ho svolto un esercizio e vorrei avere la conferma di aver fatto bene.
Bisogna scrivere lo sviluppo in serie di Laurent della funzione $f(z)=1/{(z-2i)(z+i)}$ attorno a $z=-i$, e dire qual'è il raggio dello sviluppo.
Per prima cosa ho scomposto in fratti semplici e ottengo:
$f(z)=i/3 \cdot 1/{z+i}-i/3 \cdot 1/{z-2i}$
La parte $i/3 \cdot 1/{z+i}$ non la tocco in quanto coincide già con il suo sviluppo (centrato in $z=i$).
La parte $-i/3 \cdot 1/{z-2i}$ invece la devo trasformare, e centrare.
$-i/3 \cdot 1/{z-2i}=-i/3 \cdot 1/{z+i-3i}=1/9 \cdot -1/{1-{z+i}/{3i}}$
Raccogliendo tutto, mettendo a fattor comune ottengo $-1/{27i}\sum_{n=0}^\infty (z+i)^n$ e questa è valida per $|{z+i}/{3i}|<1$ ===> $|z+i|<3$
Concludendo lo sviluppo mi viene: $f(z)=i/3 \cdot 1/{z+i}+i/27 \sum_{n=0}^\infty (z+i)^n$
Disegnando le due circonferenze, la prima di centro $2i$ e la seconda di centro $-i$ vedo che hanno raggio 3, quindi il raggio dello sviluppo dovrebbe essere proprio pari a 3.
[asvg]axes();
stroke="red";
circle( [0, 2] , 3 );
stroke="green";
circle([0,-1], 3);[/asvg]
Ringrazio di cuore in anticipo chi vorrà dargli uno sguardo.
ho svolto un esercizio e vorrei avere la conferma di aver fatto bene.
Bisogna scrivere lo sviluppo in serie di Laurent della funzione $f(z)=1/{(z-2i)(z+i)}$ attorno a $z=-i$, e dire qual'è il raggio dello sviluppo.
Per prima cosa ho scomposto in fratti semplici e ottengo:
$f(z)=i/3 \cdot 1/{z+i}-i/3 \cdot 1/{z-2i}$
La parte $i/3 \cdot 1/{z+i}$ non la tocco in quanto coincide già con il suo sviluppo (centrato in $z=i$).
La parte $-i/3 \cdot 1/{z-2i}$ invece la devo trasformare, e centrare.
$-i/3 \cdot 1/{z-2i}=-i/3 \cdot 1/{z+i-3i}=1/9 \cdot -1/{1-{z+i}/{3i}}$
Raccogliendo tutto, mettendo a fattor comune ottengo $-1/{27i}\sum_{n=0}^\infty (z+i)^n$ e questa è valida per $|{z+i}/{3i}|<1$ ===> $|z+i|<3$
Concludendo lo sviluppo mi viene: $f(z)=i/3 \cdot 1/{z+i}+i/27 \sum_{n=0}^\infty (z+i)^n$
Disegnando le due circonferenze, la prima di centro $2i$ e la seconda di centro $-i$ vedo che hanno raggio 3, quindi il raggio dello sviluppo dovrebbe essere proprio pari a 3.
[asvg]axes();
stroke="red";
circle( [0, 2] , 3 );
stroke="green";
circle([0,-1], 3);[/asvg]
Ringrazio di cuore in anticipo chi vorrà dargli uno sguardo.
Risposte
Ehm, non vorrei dire una cosa stupida, ma se la serie è centrata in $z_0=i$, non dovrebbe essere scritta in termini di potenze di $z-i$ ?
Chiedo scusa,
per un errore di distrazione ho omesso il segno $-$!
Aggiorno subito il primo post.
per un errore di distrazione ho omesso il segno $-$!
Aggiorno subito il primo post.
Scusa, ma non vedo perchè scomporre in fratti semplici...
Voglio dire, se conosci lo sviluppo di Laurent di $1/(z-2"i")$ con centro in $-"i"$, basta moltiplicarlo t.a.t. per $1/(z+"i")$ per ottenere lo sviluppo di $1/((z+"i")*(z-2"i"))$.
Infatti, se:
$1/(z-2"i")=-1/(3"i")*1/(1-(z+i)/(3"i"))=-1/(3"i")\sum_(n=0)^(+oo) 1/(3"i")^n (z+"i")^n = -\sum_(n=0)^(+oo) 1/(3"i")^(n+1) (z+"i")^n =>$
$\quad => 1/((z+"i")*(z-2"i"))=-\sum_(n=0)^(+oo) 1/(3"i")^(n+1) (z+"i")^(n-1)=-\sum_(n=-1)^(+oo) 1/(3"i")^(n+2) (z+"i")^n \quad$.
***EDIT: Corretti errori di calcolo.
Voglio dire, se conosci lo sviluppo di Laurent di $1/(z-2"i")$ con centro in $-"i"$, basta moltiplicarlo t.a.t. per $1/(z+"i")$ per ottenere lo sviluppo di $1/((z+"i")*(z-2"i"))$.
Infatti, se:
$1/(z-2"i")=-1/(3"i")*1/(1-(z+i)/(3"i"))=-1/(3"i")\sum_(n=0)^(+oo) 1/(3"i")^n (z+"i")^n = -\sum_(n=0)^(+oo) 1/(3"i")^(n+1) (z+"i")^n =>$
$\quad => 1/((z+"i")*(z-2"i"))=-\sum_(n=0)^(+oo) 1/(3"i")^(n+1) (z+"i")^(n-1)=-\sum_(n=-1)^(+oo) 1/(3"i")^(n+2) (z+"i")^n \quad$.
***EDIT: Corretti errori di calcolo.
Ora a parte questo,
come ho fatto io va bene però!?
come ho fatto io va bene però!?
Controlla i coefficienti del mio e della tuo sviluppo: se sono uguali va bene (per l'unicità dello sviluppo in serie di Laurent), altrimenti no.
Occhio che ho corretto alcuni errori di calcolo nel post precedente.
P.S.: Qui:
hai sicuramente sbagliato a scrivere la serie geometrica.
Occhio che ho corretto alcuni errori di calcolo nel post precedente.
P.S.: Qui:
"fbcyborg":
$-i/3 \cdot 1/{z-2i}=-i/3 \cdot 1/{z+i-3i}=1/9 \cdot$$-1/{1-{z+i}/{3i}}$
Raccogliendo tutto, mettendo a fattor comune ottengo $-1/{27i}$$\sum_{n=0}^\infty (z+i)^n$
hai sicuramente sbagliato a scrivere la serie geometrica.
Dunque mi sono accorto di un errore di segno; trasformando la seconda parte quindi ottengo:
$-i/3 1/{z-2i}=-i/3 1/{z+i-3i}=-i/3 1/{3i} 1/{{z+i}/{3i}-1}=-1/9 1/{{z+i}/{3i}-1}=1/9 1/{1-{z+i}/{3i}}=1/9\sum_{n=0}^\infty 1/{3i}(z+i)^n=1/{27i}\sum_{n=0}^\infty (z+i)^n$
Quindi lo sviluppo mi viene sempre come prima:
(avevo fatto un doppio errore di segno)
$f(z)=i/3 1/{z+i}+i/27 \sum_{n=0}^\infty (z+i)^n = i/3 1/{z+i}+i/27+{(z+i)i}/27+{(z+i)^2i}/27 + \cdots$
Sviluppando la tua invece, è quasi simile, però non riesco a capire dove ho sbagliato.
$-i/3 1/{z-2i}=-i/3 1/{z+i-3i}=-i/3 1/{3i} 1/{{z+i}/{3i}-1}=-1/9 1/{{z+i}/{3i}-1}=1/9 1/{1-{z+i}/{3i}}=1/9\sum_{n=0}^\infty 1/{3i}(z+i)^n=1/{27i}\sum_{n=0}^\infty (z+i)^n$
Quindi lo sviluppo mi viene sempre come prima:
(avevo fatto un doppio errore di segno)
$f(z)=i/3 1/{z+i}+i/27 \sum_{n=0}^\infty (z+i)^n = i/3 1/{z+i}+i/27+{(z+i)i}/27+{(z+i)^2i}/27 + \cdots$
Sviluppando la tua invece, è quasi simile, però non riesco a capire dove ho sbagliato.
Ma se ti dico controlla la serie geometrica...
$1/(1-(z+"i")/(3"i"))= \sum_(n=0)^(+oo) ((z+"i")/(3"i"))^n \quad$.
$1/(1-(z+"i")/(3"i"))= \sum_(n=0)^(+oo) ((z+"i")/(3"i"))^n \quad$.
Porca zozza! perché diavolo ho lasciato il $3i$ fuori? 
Ok, quindi rifacendo i calcoli ottengo:
$-i/3 1/{z-2i}=-i/3 1/{z+i-3i}=-i/3 1/{3i} 1/{{z+i}/{3i}-1}=-1/9 1/{{z+i}/{3i}-1}=1/9 1/{1-{z+i}/{3i}}=1/9\sum_{n=0}^\infty ({z+i}/{3i})^n$
E lo sviluppo viene:
$f(z)=i/3 1/{z+i}+1/9\sum_{n=0}^\infty ({z+i}/{3i})^n = i/3 1/{z+i}+1/9+{z+i}/{27i} - 1/81 (z+i)^2+ \cdots$
Ora dovrebbe essere giusta!
Grazie
$-i/3 1/{z-2i}=-i/3 1/{z+i-3i}=-i/3 1/{3i} 1/{{z+i}/{3i}-1}=-1/9 1/{{z+i}/{3i}-1}=1/9 1/{1-{z+i}/{3i}}=1/9\sum_{n=0}^\infty ({z+i}/{3i})^n$
E lo sviluppo viene:
$f(z)=i/3 1/{z+i}+1/9\sum_{n=0}^\infty ({z+i}/{3i})^n = i/3 1/{z+i}+1/9+{z+i}/{27i} - 1/81 (z+i)^2+ \cdots$
Ora dovrebbe essere giusta!
Grazie
Dimenticavo.. invece per quanto riguarda il raggio l'ho calcolato bene? E' 3?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo