È. Giusto?

[valeriadifazio_2015]

\( È \lim_{n\rightarrow oo} n!/n^n \) .
Ho ragionato cosi essendo il fattoriale più veloce dell'esponenziale vuol dire che è come avere oo/numero=0.
Giusto? Grazie

[Ernesto011]

Ma in realtá $n^n>=n!$
$n^n=nxxnxx...xxn$
$n! =nxxn-1xx...xx1$
Quindi 1) il tuo ragionamento è sbagliato 2) anche se fosse stato corretto, manca di formalitá. (Nel senso che in un contesto di esame te lo danno come errore)

[Papercut]

No, il risultato è esatto, ma non la giustificazione. Anche il passaggio intermedio non è esatto, infatti l'esponenziale in questo caso diverge più velocemente del fattoriale, ed è quindi il primo a "dominare" nel limite in questione. Tra l'altro infinito diviso un numero non fa 0 ma proprio infinito.

[mic999]

Perché non usi la formula di stirling?

[Ernesto011]

Oppure anche il criterio del rapporto

[valeriadifazio_2015]

stirling, non l'abbiamo fatto e con il criterio del rapporto abbiamo visto il teorema ma non abbiamo fatto nessun esercizio come lo potrei impostare? Grazie millie

[Papercut]

Il criterio del rapporto per successioni ci dice: Sia $ a_n $ una successione a termini positivi. Allora se la successione $ b_n=a_(n+1)/a_n $ ammette limite minore di 1, la successione $ a_n $ è infinitesima (converge a zero).
Un esempio può essere il seguente:

$ a_n=a^n/(n!) $
$ b_n=a^(n+1)/((n+1)!)*(n!)/a^n $
$ lim_(x -> oo ) b_n=lim_(x -> oo ) a^(n+1)/((n+1)!)*(n!)/a^n=lim_(x -> oo ) (a^n*a)/(n+1)*1/a^n=lim_(x -> oo ) a/(n+1)=0 $

Quindi dal momento che il limite di $ b_n $ è minore di 1 $ a_n $ converge a zero.

[francicko]

Semmai è l'esponenziale $n^n $ che corre ad $infty $ piu veloce del fattoriale $n! $ quindi si ha $0$ come risultato.

[valeriadifazio_2015]

Per calcolare questi tipi di esercizi posso usare direttamente la gerarchia dell'infinito o usare il teorema del rapporto?