è corretto ciò che faccio con questa serie?
data la serie a termini di segno alterno:
$sum_(0)^(+infty)(-1)^n(n^2sen n)/(n^2+2)$
applico prima il metodo della convergenza assoluta:
$sum_(0)^(+infty)(-1)^n(n^2sen n)/(n^2+2)$ $rArr$ $sum_(0)^(+infty)|(-1)^n(n^2sen n)/(n^2+2)|$ $rArr$ $sum_(0)^(+infty)|(n^2sen n)/(n^2+2)|$
applicando il criterio asintotico $(n^2sen n)/(n^2+2)$ $sim$ $(n^2sen n)/(n^2)$ semplifico ottenendo $sen n$ e quindi:
$sum_(0)^(+infty)|sen n|$ che diverge, quindi la serie non converge assolutamente.
provo ad applicare il criterio di leibniz:
noto subito che $\lim_{n \to \infty}(n^2sen n)/(n^2+2)$ $sim$ $(n^2sen n)/(n^2)=sen n$ che varia tra +1 e -1 quindi la successione non è decrescente per cui, la serie non converge semplicemente
in conclusione: la serie non converge ne assolutamente ne semplicemente, quindi possiamo dire che non converge
$sum_(0)^(+infty)(-1)^n(n^2sen n)/(n^2+2)$
applico prima il metodo della convergenza assoluta:
$sum_(0)^(+infty)(-1)^n(n^2sen n)/(n^2+2)$ $rArr$ $sum_(0)^(+infty)|(-1)^n(n^2sen n)/(n^2+2)|$ $rArr$ $sum_(0)^(+infty)|(n^2sen n)/(n^2+2)|$
applicando il criterio asintotico $(n^2sen n)/(n^2+2)$ $sim$ $(n^2sen n)/(n^2)$ semplifico ottenendo $sen n$ e quindi:
$sum_(0)^(+infty)|sen n|$ che diverge, quindi la serie non converge assolutamente.
provo ad applicare il criterio di leibniz:
noto subito che $\lim_{n \to \infty}(n^2sen n)/(n^2+2)$ $sim$ $(n^2sen n)/(n^2)=sen n$ che varia tra +1 e -1 quindi la successione non è decrescente per cui, la serie non converge semplicemente
in conclusione: la serie non converge ne assolutamente ne semplicemente, quindi possiamo dire che non converge
Risposte
Mi pare ok, tranne alla fine, perchè il fatto che la serie non sia decrescente (in modulo) significa sì che non funziona il criterio di Leibniz, ma questo non comporta automaticamente che la serie non converga. Puoi provare a formulare qualche esempio.
ops! ho sbagliato a scrivere...cavolo volevo dire il limite non è uguale a 0 e invece ho scritto non è decrescente(cosa che comunque la successione è, perchè varia tra +1 e -1)! errore mio...cmq grazie! il mio problema era più che altro l impostazione iniziale: il valore assoluto per la convergenza assoluta comunque se mi dici che è tutto ok, vado sul sicuro dato che all' esame una serie del genere la mette sempre! 
@alee10x: quella non è una serie a termini di segno alterno, in quanto [tex]$\frac{n^2\sin n}{n^2+1}$[/tex] non è positiva! Inoltre, dall'analisi della serie dei valori assoluti ricavi il termine generale
[tex]$\frac{n^2 |\sin n|}{n^2+1}$[/tex] (il modulo va lasciato)
il quale, non essendo infinitesimo ti assicura solo che la serie non sia assolutamente convergente.
A questo punto però non puoi usare Leibniz! O meglio, non puoi usarlo finché continuerai a lasciare [tex]$\sin n$[/tex].
[tex]$\frac{n^2 |\sin n|}{n^2+1}$[/tex] (il modulo va lasciato)
il quale, non essendo infinitesimo ti assicura solo che la serie non sia assolutamente convergente.
A questo punto però non puoi usare Leibniz! O meglio, non puoi usarlo finché continuerai a lasciare [tex]$\sin n$[/tex].
ma quindi??io che conosco solo criterio di leibniz e convergenza assoluta come faccio??dico che la serie non conv assolutamente e che non posso affermare altro non essendo an>=0 per ogni n?
@alee10x:
Allora, indico meglio cosa è giusto e cosa sbagliato.
Lo studio della convergenza assoluta va bene. La serie $Sigma |sen n|$ non converge, perchè il termine generale non è infinitesimo.
Se studi il termine senza modulo ottieni $sen n$, che comunque non è infinitesimo, a prescindere dal fatto che ci sia il modulo o no. E questo basta per dire che la serie non converge. (In effetti lo studio della convergenza assoluta si rivela superfluo, ma è comunque corretto)
Come detto nell'altro post questo non ha nulla a che vedere col criterio di Leibniz, che può essere usato solo per dimostrare se eventualmente una serie converge, ma non può mai dimostrare il contrario. Inoltre, come ha notato ciampax, anche volendo, la serie non è a segni alterni, e quindi non si può neanche provare a usare il criterio di Leibniz.
Ovviamente se non è chiaro qualcosa di quel che ho detto chiedi pure.
Allora, indico meglio cosa è giusto e cosa sbagliato.
Lo studio della convergenza assoluta va bene. La serie $Sigma |sen n|$ non converge, perchè il termine generale non è infinitesimo.
Se studi il termine senza modulo ottieni $sen n$, che comunque non è infinitesimo, a prescindere dal fatto che ci sia il modulo o no. E questo basta per dire che la serie non converge. (In effetti lo studio della convergenza assoluta si rivela superfluo, ma è comunque corretto)
Come detto nell'altro post questo non ha nulla a che vedere col criterio di Leibniz, che può essere usato solo per dimostrare se eventualmente una serie converge, ma non può mai dimostrare il contrario. Inoltre, come ha notato ciampax, anche volendo, la serie non è a segni alterni, e quindi non si può neanche provare a usare il criterio di Leibniz.
Ovviamente se non è chiaro qualcosa di quel che ho detto chiedi pure.
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