è corretta questa serie di taylor?

[bius88]

salve a tutti ....riprendo una serie di taylor che si trova in un altro post:
$\sum_{n=0}^oo (3x+4)^n/(n!)$
Mathematico mi ha dato questo consiglio:

"Mathematico":Ti do un consiglio, quando hai queste situazioni, poni per semplicità $t= 3x+4$ e quindi la serie diventa:

$\sum_{n=0}^\infty t^n/(n!)$ e quindi hai una serie di potenze in cui $a_n= ...$. Ti calcoli il raggio di convergenza che è $R=...$. La serie converge se
$|t|

continuo l'esercizio scrivendo la serie $\sum_{n=0}^\infty t^n/(n!)$ dove $a_n=1/(n!)$.
Facendo il limite ad $oo$ ottengo $1$ dunque il raggio di convergenza è $r=1$
L'intervallo è: $(-1,1)$

per $x=-1$:
$\sum_{n=0}^oo 1^n/(n!)=0$ dunque converge

per $x=1$:
$\sum_{n=0}^oo 7^n/(n!)=0$ dunque converge $rArr$ l'intervallo è $[-1,1]$

Secondo voi è corretta? fatemi sapere
grazie!

[Fioravante Patrone1]

[mod="Fioravante Patrone"]C'è un thread che aspetta teee:
https://www.matematicamente.it/forum/dub ... tml#310983[/mod]

[salvozungri]

No, hai calcolato male il raggio di convergenza.

$a_n= 1/(n!) => |a_{n}/a_{n+1}|= ((n+1)!)/(n!) = n+1$

Quindi $lim_{n->\infty} |a_{n}/a_{n+1}|= +\infty$

Puoi quindi concludere che la serie converge per ogni $t\in RR$

In particolare sai che
$\sum_{n=0}^\infty t^n/(n!)= e^t, \forall t\in RR$

ma $t= 3x+4$

e dunque:

$\sum_{n=0}^\infty (3x+4)^n/(n!)= e^(3x+4), \forall x\in RR$

[bius88]

"Mathematico":No, hai calcolato male il raggio di convergenza.

$a_n= 1/(n!) => |a_{n}/a_{n+1}|= ((n+1)!)/(n!) = n+1$

Quindi $lim_{n->\infty} |a_{n}/a_{n+1}|= +\infty$

Puoi quindi concludere che la serie converge per ogni $t\in RR$

In particolare sai che
$\sum_{n=0}^\infty t^n/(n!)= e^t, \forall t\in RR$

ma $t= 3x+4$

e dunque:

$\sum_{n=0}^\infty (3x+4)^n/(n!)= e^(3x+4), \forall x\in RR$

scusa ma il raggio di convergenza si calcola: $r=1/l$ dove $l= lim_{n->\infty} |a_{n+1}/a_{n}|= 1/(n+1)*n/1=n/(n+1)=n/(n(1+1/n))=1/(1+1/n)=1/1=1$
non pensavo di sbagliare proprio il raggio di convergenza!!
fammi sapere...grazie!

[salvozungri]

Attento
$a_{n}= 1/(n!)$
Hai dimenticato il fattoriale!

[bius88]

ma quando c'è il fattoriale cosa si deve fare? i prof lo danno già per scontato e nn dicono mai nulla su questo...

[mod="Fioravante Patrone"]OOOPS, ecco cosa succede a ignorare i moderatori[/mod]