E' continua questa funzione?

[olanda2000]

$ y=arctan(x) + arctan(1/x) $

Intendo nel suo dominio di definizione , cioè R\0

Fa un salto comunque !

Grazie

[Mephlip]

Sì, è continua perché somma e composizione di funzioni continue in $\mathbb{R} \setminus \{0\}$; addirittura,
è costante per $x<0$ e per $x>0$ (due costanti diverse su questi due intervalli). Che "salti" non ti dice molto, visto che è un concetto intuitivo di discontinuità. Per non avere dubbi, devi sempre affidarti alla definizione o eventuali teoremi.

[olanda2000]

Quindi la continuità per funzioni definite su insiemi qualsiasi e non su intervalli (come in tal caso) è abbastanza insidiosa . Ad es. non vale il test di provare a disegnarla senza staccare la penna dal foglio .

[Mephlip]

Penso che qualsiasi cosa nasconda delle insidie in matematica se la si approccia con cose tipo "una funzione è continua se la si riesce a disegnare senza staccare la penna dal foglio" .

Scherzi a parte, è chiaro come mai è continua? Nel senso, è chiaro perché non dovrebbe dare dubbi il fatto che, in $0$, non ci sono problemi di continuità? Rigorosamente però, eh!

[olanda2000]

Mi sono convinto solo applicando la definizione di continuità a destra e a sinistra del punto escluso ( in x=0 la funzione non è definita per cui non può essere neppure continua ! ) ed effettivamente risulta continua in tali intervalli ( x<0 e x> 0) , cioè in ogni punto i due limiti sn e dx coincidono tra loro e coincidono con il valore della funzione in tale punto. Ciao

[Mephlip]

"olanda2000":in x=0 la funzione non è definita per cui non può essere neppure continua !)

Esatto. La definizione di continuità in $x=0$ richiede che sia possibile calcolare $f(0)$, nel caso da te proposto ciò non è possibile.