$ d(\vec v · \vec v) = 2\vec v · d\vec v$
Ciao, amici!
Vorrei porre una domanda a chi avrà la bontà di rispondere: qualcuno sa come si dimostra che $ d(\vec v · \vec v) = 2\vec v · d\vec v$ ?
Grazie $+oo$ a tutti quanti!!!
Davide
Vorrei porre una domanda a chi avrà la bontà di rispondere: qualcuno sa come si dimostra che $ d(\vec v · \vec v) = 2\vec v · d\vec v$ ?
Grazie $+oo$ a tutti quanti!!!
Davide
Risposte
Notazione da fisici...
Comunque basta fare due conti sviluppando il prodotto scalare al primo membro e differenziare.
Comunque basta fare due conti sviluppando il prodotto scalare al primo membro e differenziare.
"gugo82":
Notazione da fisici...
Eh, sì, infatti l'ho trovato nella dimostrazione della prima legge di Keplero.
Ho provato a calcolaro, ma, bloccandomi, lancio un SOS qui...
Direi, molto semplicemente, che $d(\vecv·\vecv)=dv^2$ e che, chiamando $\hat u_v$ il versore parallelo a $\vecv$:
$2\vecv·d\vecv=2v\hat u_v·(dv\hat u_v+vd\hat u_v)=2vdv\hat u_v·\hat u_v+2v^2\hat u_v·d\hat u_v=2vdv+2v^2\hat u_v·d\hat u_v$
e qua mi sembra che $d\hat u_v=d\phi\hatn$ dove $phi$ è l'angolo tra $\hat u_v(t_0)$ e $\hat u_v(t)$, e dove $\hatn \bot \vec u_v(t_0)$, per cui direi che
$2\vecv·d\vecv=2vdv+2v^2d\phi\hat u_v·\hatn$
ma più in là di così non vado...

Sperando per un aiuto ringrazio tutti infinitamente!
Davide, ti stai complicando la vita!
Segui il consiglio di gugo: per definizione [tex]$\vec{v}\cdot\vec{v}=\sum_{k=1}^3 v_k^2$[/tex] dove [tex]$\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)$[/tex]. A questo punto basta semplicemente applicare le proprietà della derivata.

Ah ah, è vero! Grazie per avermici "fatto arrivare"!
$(d(fg))/dx=(df)/(dx)g+(dg)/(dx)f$ quindi $df^2=2fdf$ che si applica tranquillamente al caso
$d(\vecv ·\vecv)=d(\sum_{k=1}^{3} v_k^2)=\sum_{k=1}^{3} 2v_kdv_k=2\vecv·d\vecv$ (scriviamo 3, ma si potrebbe applicare a n termini delle sommatorie e quindi a vettori in spazi n-dimensionali).
Ciao e grazie a tutti!!!

$(d(fg))/dx=(df)/(dx)g+(dg)/(dx)f$ quindi $df^2=2fdf$ che si applica tranquillamente al caso
$d(\vecv ·\vecv)=d(\sum_{k=1}^{3} v_k^2)=\sum_{k=1}^{3} 2v_kdv_k=2\vecv·d\vecv$ (scriviamo 3, ma si potrebbe applicare a n termini delle sommatorie e quindi a vettori in spazi n-dimensionali).
Ciao e grazie a tutti!!!
Sì, davo per scontato che ti servisse il caso "fisico" nello spazio tridimensionale, ma è una relazione vera per ogni spazio vettoriale $n$-dimensionale dotato di un prodotto scalare.