Due variabili aleatorie: determinare distribuzione e normalizzazione

[saretta6996]

Ciao a tutti, altro esercizio di probabilità e statistica!

Siano X ed Y variabili aleatorie e sia f(x,y) la distribuzione congiunta. Consideriamo le seguenti f: determinate quali sono autentiche distribuzioni di probabilità congiunte sui domini assegnati, calcolate il fattore c di normalizzazione ed infine dite se le variabili X ed Y sono indipendenti o
meno.
a) f(x,y) = c sin(x)cos(y) su [0,π/2] x [0,π/2]
b) f(x,y) = c(x² + y³ -1) su [0,1] x [0,1]
c) f(x,y) = c(x²y + xy²) su [-1,1] x [-1,1]
d) f(x; y) = c℮^(-(x²+y²)) su [0,∞] x [0,∞]
e) f(x; y) = c(x²y + xy²) su [0,∞] x [0,∞]


(In allegato se volete c'è il testo in simboli non ascii!)

[davi02]

a)

[math]f[/math]

è una d.d.p congiunta in quanto funzione continua in

[math][0, \pi/2] \times [0, \pi/2][/math]

con segno costante.
Il fattore di normalizzazione è

[math]c = 1[/math]

perché

[math]
\int_0^{\pi/2} \int_0^{\pi/2} c \sin(x) \cos(y) dx dy = c.
[/math]

[math]X, Y[/math]

sono indipendenti, visto che

[math]f(x,y) = g(x)h(y)[/math]

, con

[math]g(x) = sin(x)[/math]

d.d.p. di

[math]X[/math]

su

[math][0, \pi/2][/math]

,

[math]h(y) = cos(y) [/math]

d.d.p. di

[math]Y[/math]

su

[math] [0, \pi/2][/math]

.

b)

[math]f[/math]

non è d.d.p. perché assume valori positivi e negativi in

[math][0,1] \times [0,1][/math]

; p.es.

[math]f(0, 0) = -c, f(1, 1) = c[/math]

.

c)

[math]f[/math]

non è d.d.p. perché assume valori positivi e negativi in

[math] [-1,1] \times [-1,1] [/math]

; p.es.

[math]f(-1, -1) = -2c, f(1, 1) = 2c[/math]

.

d) stessa conclusione che in a), con

[math]c = 4/\pi[/math]

,

[math]g(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-x^2}, h(y) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-y^2}[/math]

.

e)

[math]f[/math]

non è d.d.p. perché l’integrale di

[math]x^2y + xy^2[/math]

non converge su

[math][0, \infty] \times [0, \infty][/math]

.

ciao