Due serie di funzioni
Buonasera, sto studiando la convergenza puntuale ed uniforme di due serie di funzioni.
i) \( \sum_{n = 0}^{\infty} e^{nx^2 -n^2 x} \), $x\in\mathbb{R}$
ii) \( \sum_{n=0}^{\infty} (1-logx)log^nx \), $x>0$
Per la i) io ho calcolato la derivata $f'_n (x) = (2xn - n^2) e^{nx^2-n^2x}$ ed ho trovato che è maggiore o uguale a zero se e solo se $x \ge n/2$. Questo significa che $f_n$ descresce se $x\in (-\infty, n/2]$ e cresce per $x\in [n/2, \infty)$.
Quindi, fissato $\delta > 0$, per ogni $n \ge 1/\delta$ si ha \( \sup_{x \ge \delta} f_n(x) = f_n(\delta) \). Ma \( \sum_{n = 0}^{\infty} f_n(\delta) = \sum_{n = 0}^{\infty} e^{n\delta^2 -n^2 \delta} <\infty \) quindi per il criterio di Weierstrass la serie converge uniformemente $\forall \delta > 0$ su $[\delta, \infty)$, e quindi anche puntualmente.
Ora, se fino ad adesso sono andato bene, devo mostrare che non c'è convergenza uniforme su $(-\infty, 0]$ e $[0, \delta]$?
Per quanto riguarda la ii) procedendo come nell'esercizio precedente ho calcolato la derivata e ho trovato che è maggiore o uguale a 0 quando $x \ge e^{\frac{n}{n+1}$. Quindi, fissato $\delta > 0$, per ogni $n \ge e^{\frac{\delta}{\delta+1}$ si ha \( \sup_{x \ge \delta} f_n(x) = f_n(\delta) \). Ma in questo caso non riesco a mostrare che $\sum_{n = 0}^{\infty} (1-log\delta)log^n\delta$ coverge (so che deve convergere, perchè dopo chiede addirittura di calcolare la somma della serie iniziale)
i) \( \sum_{n = 0}^{\infty} e^{nx^2 -n^2 x} \), $x\in\mathbb{R}$
ii) \( \sum_{n=0}^{\infty} (1-logx)log^nx \), $x>0$
Per la i) io ho calcolato la derivata $f'_n (x) = (2xn - n^2) e^{nx^2-n^2x}$ ed ho trovato che è maggiore o uguale a zero se e solo se $x \ge n/2$. Questo significa che $f_n$ descresce se $x\in (-\infty, n/2]$ e cresce per $x\in [n/2, \infty)$.
Quindi, fissato $\delta > 0$, per ogni $n \ge 1/\delta$ si ha \( \sup_{x \ge \delta} f_n(x) = f_n(\delta) \). Ma \( \sum_{n = 0}^{\infty} f_n(\delta) = \sum_{n = 0}^{\infty} e^{n\delta^2 -n^2 \delta} <\infty \) quindi per il criterio di Weierstrass la serie converge uniformemente $\forall \delta > 0$ su $[\delta, \infty)$, e quindi anche puntualmente.
Ora, se fino ad adesso sono andato bene, devo mostrare che non c'è convergenza uniforme su $(-\infty, 0]$ e $[0, \delta]$?
Per quanto riguarda la ii) procedendo come nell'esercizio precedente ho calcolato la derivata e ho trovato che è maggiore o uguale a 0 quando $x \ge e^{\frac{n}{n+1}$. Quindi, fissato $\delta > 0$, per ogni $n \ge e^{\frac{\delta}{\delta+1}$ si ha \( \sup_{x \ge \delta} f_n(x) = f_n(\delta) \). Ma in questo caso non riesco a mostrare che $\sum_{n = 0}^{\infty} (1-log\delta)log^n\delta$ coverge (so che deve convergere, perchè dopo chiede addirittura di calcolare la somma della serie iniziale)
Risposte
La seconda serie è la caricatura di una serie di funzioni. Con un attimo di ragionamento la puoi ricondurre, per ogni \(x\) fissato, a una serie numerica che conosci molto bene. Prova a porre \(y=\log x\).
Si, l'avevo risolta già da un pò e ho loggato proprio ora per scrivere la mia soluzione 
Dunque, per risolvere la ii) notiamo che si può portare fuori dalla sommatoria $(1-logx)$ e dentro la sommatoria troviamo una serie geometrica di ragione $logx$. Questa converge uniformemente per $|logx|<1$, cioè per $1/e < x < e$. In questo caso la somma vale $ S = (1-logx) \sum_{n=0}^{\infty} log^n x = (1-logx) \frac{1}{(1-logx)} = 1$.
Inoltre notiamo che se $x = e$ si ha $\sum 0 = 0$.
Per quanto riguarda la i) come ti sembra?
Dunque, per risolvere la ii) notiamo che si può portare fuori dalla sommatoria $(1-logx)$ e dentro la sommatoria troviamo una serie geometrica di ragione $logx$. Questa converge uniformemente per $|logx|<1$, cioè per $1/e < x < e$. In questo caso la somma vale $ S = (1-logx) \sum_{n=0}^{\infty} log^n x = (1-logx) \frac{1}{(1-logx)} = 1$.
Inoltre notiamo che se $x = e$ si ha $\sum 0 = 0$.
Per quanto riguarda la i) come ti sembra?
La serie geometrica converge uniformemente su ogni sottointervallo compatto contenuto in \((e^{-1}, e)\), NON su tutto \((e^{-1}, e)\), questo è un dettaglio un po' sottile. Siccome hai trovato convergenza puntuale in uno dei due estremi, per un teorema di Abel puoi dire che la convergenza è uniforme su tutti gli intervalli della forma \((a, e]\) con \(e^{-1}
Ora purtroppo devo proprio scappare
Ora purtroppo devo proprio scappare
La serie geometrica converge uniformemente su ogni sottointervallo compatto contenuto in (e−1,e), NON su tutto (e−1,e), questo è un dettaglio un po' sottile.
Giusto! Grazie per la dritta.
Un attimo, ci ho ripensato. Abbiamo detto che la serie converge ad 1 per $x\in (1/e, e)$ mentre per $e = 0$ converge a 0. C'è un teorema sulla convergenza uniforme che dice che se una successione di funzioni continue in un insieme $X$ converge uniformemente ad $f$ in $X$, allora $f$ è continua in $X$. Questo teorema può anche essere utilizzato per affermare che se $f$ non è continua in $X$ allora $f_n$ non può convergere uniformemente in $X$. Quindi nel nostro caso la convergenza non può essere uniforme sugli intervalli $(a, e]$ perchè in questo intervallo $f$ non è continua.
P.S. Io il teorema di Abel non l'ho fatto
P.S. Io il teorema di Abel non l'ho fatto
Certamente, hai proprio ragione, colpa mia che ho citato un oscuro teorema a sproposito. (Non fa niente se non lo hai studiato, non è particolarmente importante e comunque te lo ritroverai tra i piedi in analisi complessa). Scordiamoci del teorema di Abel.
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