DUE SERIE

[lupomatematico]

1) 'sum_(n=0)^oo((tan pi/6)^((n^2-n)/(n-tan pi/4)))'

2) 'sum_(n=1)^oo(((n^2)(n+3)^0.5)/(2n^3+5n))'

la prima serie,semplificando l'esponenete è una serie geometrica di ragione (3^0.5)/3 che è quindi convergente e ha per somma 1/(1-((3^0.5)/3))

la seconda serie soddisfa la condizione necessaria di convergenza perchè fa 0 il limite a +inf , ma come si fa a vedere se è convergente e soprattutto la sua somma?

[fireball1]

La seconda serie è convergente se la successione è un infinitesimo
di ordine > 1 per $n->+oo$ e se è a termini non negativi.
Senz'altro è a termini non negativi, vediamone
allora il comportamento asintotico:
$(n^2(n+3)^(1/2))/(2n^3+5n)~~(n^2*n^(1/2))/(2n^3) = 1/2 n^(2+1/2-3) = 1/2 n^(-1/2) = 1/(2sqrtn)
quindi è un infinitesimo di ordine $1/2<1$ per $n->+oo$,
perciò la serie diverge.

[lupomatematico]

Grazie per la risposta!

Mi confermi che il ragionamento sulla prima serie è giusto?

[fireball1]

Sì è corretto anche se non è strettamente
necessario che calcoli il valore esatto della serie...
Questa infatti è una cosa che in tantissimi casi non
si può fare, mentre quello che senz'altro si può fare
è studiare il comportamento della serie...
Discorso analogo vale per gli integrali generalizzati.