Due semplici limiti
Ciao a tutti,non riesco a rivolere questi due limiti.(senza utilizzare de l'Hôpital o Taylor perchè non ancora affrontati)
$lim_(x -> 3) (x^10 - 3^10)/(x^11 - 3^11)$ forma indeterminata del tipo $[0/0]$
La soluzione è $10/33$.
Ho provato a raccogliere o a sostituire brutalmente supponendo di sostituire $3^+$ e $3^-$,ma niente
$lim_(x -> 1) (x-4sqrtx+3)/(x^2-1)$ forma indeterminata del tipo $[0/0]$
La soluzione è $-1/2$.
Come il primo esercizio essendo simili.
Ed inoltre un limite che bisogna studiare al variare del parametro $alpha in R$
$lim_(x -> 0) (1-e^alphax^2 + x^5sin(1/x))/x^2$
Per quanto riguardo questo limite ho provato a ricondurmi a qualche gerarchia di infinitesimi,ma senza risultato.(Controllo cambiando i parametri di $alpha $ su tool online che risolvono limiti)
$lim_(x -> 3) (x^10 - 3^10)/(x^11 - 3^11)$ forma indeterminata del tipo $[0/0]$
La soluzione è $10/33$.
Ho provato a raccogliere o a sostituire brutalmente supponendo di sostituire $3^+$ e $3^-$,ma niente
$lim_(x -> 1) (x-4sqrtx+3)/(x^2-1)$ forma indeterminata del tipo $[0/0]$
La soluzione è $-1/2$.
Come il primo esercizio essendo simili.
Ed inoltre un limite che bisogna studiare al variare del parametro $alpha in R$
$lim_(x -> 0) (1-e^alphax^2 + x^5sin(1/x))/x^2$
Per quanto riguardo questo limite ho provato a ricondurmi a qualche gerarchia di infinitesimi,ma senza risultato.(Controllo cambiando i parametri di $alpha $ su tool online che risolvono limiti)
Risposte
$lim_(x rarr 1) (x-4sqrt(x)+3)/(x^2-1)$
Cerco di eliminare il fattore che porta a $0 $ sia numeratore che denominatore
$x-4sqrt(x)+3= x-sqrt(x)-3sqrt(x)+3= sqrt(x)( sqrt(x)-1)-3(sqrt(x)-1)= (sqrt(x)-1)(sqrt(x)-3) $
$x^2-1=(x+1)(x-1)= (x+1)(sqrt(x)+1)(sqrt(x)-1) $ e quindi il limite diventa
$((sqrt(x)-1)(sqrt(x)-3))/((x+1)(sqrt(x)+1)(sqrt(x)-1)) rarr (sqrt(x)-3)/((x+1)(sqrt(x)+1)) $ e si conclude.
Cerco di eliminare il fattore che porta a $0 $ sia numeratore che denominatore
$x-4sqrt(x)+3= x-sqrt(x)-3sqrt(x)+3= sqrt(x)( sqrt(x)-1)-3(sqrt(x)-1)= (sqrt(x)-1)(sqrt(x)-3) $
$x^2-1=(x+1)(x-1)= (x+1)(sqrt(x)+1)(sqrt(x)-1) $ e quindi il limite diventa
$((sqrt(x)-1)(sqrt(x)-3))/((x+1)(sqrt(x)+1)(sqrt(x)-1)) rarr (sqrt(x)-3)/((x+1)(sqrt(x)+1)) $ e si conclude.
"Achaikos":
$lim_(x -> 3) (x^10 - 3^10)/(x^11 - 3^11)$ forma indeterminata del tipo $[0/0]$
La soluzione è $10/33$.
Ti viene chiesto di dimostrare che sia uguale a [tex]10/33[/tex] oppure di risolvere il limite?
"Camillo":
$ lim_(x rarr 1) (x-4sqrt(x)+3)/(x^2-1) $
Cerco di eliminare il fattore che porta a $ 0 $ sia numeratore che denominatore
$ x-4sqrt(x)+3= x-sqrt(x)-3sqrt(x)+3= sqrt(x)( sqrt(x)-1)-3(sqrt(x)-1)= (sqrt(x)-1)(sqrt(x)-3) $
$ x^2-1=(x+1)(x-1)= (x+1)(sqrt(x)+1)(sqrt(x)-1) $ e quindi il limite diventa
$ ((sqrt(x)-1)(sqrt(x)-3))/((x+1)(sqrt(x)+1)(sqrt(x)-1)) rarr (sqrt(x)-3)/((x+1)(sqrt(x)+1)) $ e si conclude.
Grazie!
"freddoRm":
[quote="Achaikos"]
$lim_(x -> 3) (x^10 - 3^10)/(x^11 - 3^11)$ forma indeterminata del tipo $[0/0]$
La soluzione è $10/33$.
Ti viene chiesto di dimostrare che sia uguale a [tex]10/33[/tex] oppure di risolvere il limite?[/quote]
Di risolvere il limite.
(Essendo un foglio esercizi ho però già le soluzioni)
Ah e per quanto riguardo l'ultimissimo limite sono riuscito a risolverlo quindi si può saltare.
Per il primo puoi fare così: dividi numeratore e denominatore per $x-3$ e ottieni
$(x^9+3x^8+3^2x^8+ ... + 3^9)/(x^10+3x^9+3^2x^8+ ... + 3^10)$.
Da qui è semplice
$(x^9+3x^8+3^2x^8+ ... + 3^9)/(x^10+3x^9+3^2x^8+ ... + 3^10)$.
Da qui è semplice
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