Due questioni sul "Sup"

[Palladio1]

Avrei altre due domandine per i forumisti

1) Ho $g : G to R$ applicazione lineare e continua di norma $||g||_(G')=Supg(x)$, dove $x in G$ e $||x|| \leq 1$. Perchè $g(x)<=||g||_(G') ||x||$?
2) Ho $f : E to R$ lineare e continua di norma come $g$. Perchè ho $Sup ||<=||x||$ per ogni $x in E$, dove il "Sup" è preso su $f in E'$, con $||f||<=1$?

Muchas gratias!

[gugo82]

"Palladio":Avrei altre due domandine per i forumisti

1) Ho $g : G to R$ applicazione lineare e continua di norma $||g||_(G')=Supg(x)$, dove $x in G$ e $||x|| \leq 1$. Perchè $g(x)<=||g||_(G') ||x||$?

Discende tutto da una caratterizzazione della norma duale: per definizione sai che $||g||_(G^**)="sup"_(||x||_Gle 1) ||$ però puoi provare che tale definizione equivale alla seguente $||g||_(G^**)=min{Mge0:quad AAx in G, || leM*||x||_G}$; dall'ultima uguaglianza segue immediatamente che $AAx in G, ||le ||g||_(G^**)*||x||_G$.

2) Ho $f : E to R$ lineare e continua di norma come $g$. Perchè ho $Sup ||<=||x||$ per ogni $x in E$, dove il "Sup" è preso su $f in E'$, con $||f||<=1$?

Muchas gratias!

Ricorda che si può sempre immergere $G$ nel biduale $G^(****)$ e considerare ogni $x in G$ come un funzionale lineare continuo su $G^**$. La norma del funzionale $x in G^(****)$ uguaglia quella dell'elemento $x in G$ e perciò $||x||_G=||x||_(G^(****))="sup"_(||f||_(G^**)le 1) ||$.

Spero di aver centrato il punto.
Buono studio.

[Palladio1]

"Gugo82":
Ricorda che si può sempre immergere $G$ nel biduale $G^(****)$ e considerare ogni $x in G$ come un funzionale lineare continuo su $G^**$. La norma del funzionale $x in G^(****)$ uguaglia quella dell'elemento $x in G$ e perciò $||x||_G=||x||_(G^(****))="sup"_(||f||_(G^**)le 1) ||$.

Come hai capito mi cimento col Brezis...
Il fatto è che si vuole dimostrare proprio $||x||_G="sup"_(||f||_(G^**)le 1) ||="max"_(||f||_(G^**)le 1) ||$, a partire dalla disuguaglianza $||x||_G>="sup"_(||f||_(G^**)le 1) ||$...

[gugo82]

"Palladio":[quote="Gugo82"]
Ricorda che si può sempre immergere $G$ nel biduale $G^(****)$ e considerare ogni $x in G$ come un funzionale lineare continuo su $G^**$. La norma del funzionale $x in G^(****)$ uguaglia quella dell'elemento $x in G$ e perciò $||x||_G=||x||_(G^(****))="sup"_(||f||_(G^**)le 1) ||$.

Il fatto è che si vuole dimostrare proprio $||x||_G="sup"_(||f||_(G^**)le 1) ||="max"_(||f||_(G^**)le 1) ||$, a partire dalla disuguaglianza $||x||_G>="sup"_(||f||_(G^**)le 1) ||$...[/quote]
Allora...

Che $||x||_(G^(****))le ||x||_G$ è banale perchè si ha $AA f in G^**, || = || le ||x||_G*||f||_(G^**)$ e $||x||_(G^(****))=min{Mge0:quad AA f in G^**, || le M*||f||_(G^**)}$.
Proviamo che vale la disuguaglianza inversa $||x||_G le ||x||_(G^**)$: per un corollario al Teorema di Hahn-Banach puoi certamente determinare un funzionale $hat(f) in G^**$ tale che $|| hat(f) ||_(G^**)=1$ ed $||=||x||_G$, quindi hai $||=||x||_G$ e $||x||_(G^(****))="sup"_(||f||_(G^**)le 1) ||ge || =||x||_G$.

Se ne trae $||x||_(G^(****))=||x||_G$ per ogni $x in G$.

Precisazione: scrivo $||x||_(G^(****))$ per comodità, anche se non è corretto; per correttezza dovrei usare l'immagine di $x$ in $G^(****)$ mediante l'iniezione canonica $J:GtoG^(****)$.

"Palladio":Come hai capito mi cimento col Brezis...

Perchè sono dubbi che avevo anch'io (però li ho risolti tempo fa) studiando dallo stesso testo.
Diciamo che non mi piace molto come libro (per lo stile delle dimostrazioni preferisco il Miranda), però ci sono molte cose importanti soprattutto per quel che riguarda le applicazioni alle EDP.