Due quesiti due di Teoria della Misura
Intanto che sono un po' in pausa studio, vi propongo due quesiti: l'argomento è la costruzione di misure aventi immagine di una certa "forma".
Nel seguito per spazio di misura si intende una terna $(S,\mathcal{R},mu)$ in cui:
- $S!=\emptyset$;
- $\mathcal{R} \subseteq P(S)$ è una $sigma$-algebra;
- $mu: \mathcal{R} \to [0,+oo]$ è $sigma$-additiva su $\mathcal{R}$ e non identicamente uguale a $+oo$ (o, equivalentemente, tale che $mu(\emptyset)=0$).
L'immagine della misura $mu$ è l'insieme $mu(mathcal{R}) \subseteq [0,+oo[$.
***
Problemi:
1. Determinare uno spazio di misura $(S,\mathcal{R},mu)$ tale che l'immagine di $mu$ sia unione di due intervalli compatti disgiunti (ossia $mu(mathcal{R}) = [a,b] \cup [c,d]$, con $0
2. Determinare uno spazio di misura $(S,\mathcal{R},mu)$ tale che l'immagine di $mu$ sia un insieme limitato, denso in sè (intendo che ogni punto di $mu(\mathcal{R})$ è d'accumulazione per $mu(\mathcal{R})$), non numerabile, ma non sia un intervallo o un'unione di intervalli.
***
Questi due problemi mi sono venuti in mente cercando degli esempi per alcune situazioni cui si è accennato nel corso sulle misure finitamente additive che ho seguito (e che ora sto studiando); se vedete qualcosa che non va siete liberi di farmelo notare.
Nel seguito per spazio di misura si intende una terna $(S,\mathcal{R},mu)$ in cui:
- $S!=\emptyset$;
- $\mathcal{R} \subseteq P(S)$ è una $sigma$-algebra;
- $mu: \mathcal{R} \to [0,+oo]$ è $sigma$-additiva su $\mathcal{R}$ e non identicamente uguale a $+oo$ (o, equivalentemente, tale che $mu(\emptyset)=0$).
L'immagine della misura $mu$ è l'insieme $mu(mathcal{R}) \subseteq [0,+oo[$.
***
Problemi:
1. Determinare uno spazio di misura $(S,\mathcal{R},mu)$ tale che l'immagine di $mu$ sia unione di due intervalli compatti disgiunti (ossia $mu(mathcal{R}) = [a,b] \cup [c,d]$, con $0
2. Determinare uno spazio di misura $(S,\mathcal{R},mu)$ tale che l'immagine di $mu$ sia un insieme limitato, denso in sè (intendo che ogni punto di $mu(\mathcal{R})$ è d'accumulazione per $mu(\mathcal{R})$), non numerabile, ma non sia un intervallo o un'unione di intervalli.
***
Questi due problemi mi sono venuti in mente cercando degli esempi per alcune situazioni cui si è accennato nel corso sulle misure finitamente additive che ho seguito (e che ora sto studiando); se vedete qualcosa che non va siete liberi di farmelo notare.
Risposte
Nel primo caso non puoi prendere $S=[0,1]\cup{2}$ con la misura di Lebesgue su $[0,1]$ e una delta di massa $2$ sul punto $2$ ?
In questo modo le possibili misure formano (se non mi sbaglio) l'insieme $[0,1]\cup[2,3]$.
In questo modo le possibili misure formano (se non mi sbaglio) l'insieme $[0,1]\cup[2,3]$.
Io l'avevo pensata con $S=[-1,1]$, così era ancora più strana perchè il sostegno dello spazio di misura era un intervallo.
Insomma avevo preso $S=[-1,1]$, $\mathcal{R}=\{ X\subseteq S " misurabili secondo Lebesgue"\}$, poi, detta:
$f(x):=\{(0, ", se " -1<= x<0),(1, ", se " 0<=x<=1):}\quad$ (praticamente $f$ è la $chi_([0,1])$, funzione caratteristica di $[0,1]$)
avevo posto:
$phi(X):=\int_X f(x) " d"x \quad$ (che è una misura per noti fatti sulle funzioni semplici positive e misurabili)
ed infine:
$mu(X):=2*delta_(-1)(X)+phi(X)$ (la $delta_(-1)(\cdot )$ è la delta di Dirac centrata in $-1$).
In tal modo $mu$ è una misura su $(S,\mathcal{R})$ e per $X\in \mathcal{R}$, avendosi $phi(X) in [0,1]$, si distinguono i casi:
a) se $-1\in X$ allora $mu(X)=2+phi(X) \in [2,3]$;
b) se $-1\notin X$ allora $mu(X)=phi(X) \in [0,1]$;
perciò $mu(\mathcal{R}) =[0,1]\cup [2,3]$.
[Ovviamente in un contesto finitamente additivo e con misura segnata ho fatto cose un po' diverse; se interessa, ho preso $S=[-1,1]$, $\mathcal{R}:=\{ X\subseteq [-1,1]: X " è unione di un numero finito di intervalli del tipo " [a,b[ " disgiunti"\}$ -di modo che $\mathcal{R}$ è un anello- , e $mu(X)=-2delta_(-1) (X)+phi(X)$, ove $phi(X)=phi(\cup_(k=1)^n [a_k,b_k[)=\sum_(k=1)^n f(b_k)-f(a_k)$ ed $f(x)=x*\chi_([0,1])(x)$ -di modo che $phi$ è "la stessa di prima" e $mu$ è finitamente additiva, finita, limitata e segnata-.
In tal modo si ha $mu(\mathcal{R})=[-2,-1]\cup[0,1]$.]
Per il secondo ho preso $S=[0,1]$... Però lascio libera la vostra fantasia.
[OT]
Già che ci siamo VG, posso chiederti di buttare un'occhiata a questo thread riguardante le funzioni semicontinue?
Visto che non sono tanto esperto non vorrei aver incasinato troppo le cose (o detto assutdità); te ne sarei grato.
[/OT]
Insomma avevo preso $S=[-1,1]$, $\mathcal{R}=\{ X\subseteq S " misurabili secondo Lebesgue"\}$, poi, detta:
$f(x):=\{(0, ", se " -1<= x<0),(1, ", se " 0<=x<=1):}\quad$ (praticamente $f$ è la $chi_([0,1])$, funzione caratteristica di $[0,1]$)
avevo posto:
$phi(X):=\int_X f(x) " d"x \quad$ (che è una misura per noti fatti sulle funzioni semplici positive e misurabili)
ed infine:
$mu(X):=2*delta_(-1)(X)+phi(X)$ (la $delta_(-1)(\cdot )$ è la delta di Dirac centrata in $-1$).
In tal modo $mu$ è una misura su $(S,\mathcal{R})$ e per $X\in \mathcal{R}$, avendosi $phi(X) in [0,1]$, si distinguono i casi:
a) se $-1\in X$ allora $mu(X)=2+phi(X) \in [2,3]$;
b) se $-1\notin X$ allora $mu(X)=phi(X) \in [0,1]$;
perciò $mu(\mathcal{R}) =[0,1]\cup [2,3]$.
[Ovviamente in un contesto finitamente additivo e con misura segnata ho fatto cose un po' diverse; se interessa, ho preso $S=[-1,1]$, $\mathcal{R}:=\{ X\subseteq [-1,1]: X " è unione di un numero finito di intervalli del tipo " [a,b[ " disgiunti"\}$ -di modo che $\mathcal{R}$ è un anello- , e $mu(X)=-2delta_(-1) (X)+phi(X)$, ove $phi(X)=phi(\cup_(k=1)^n [a_k,b_k[)=\sum_(k=1)^n f(b_k)-f(a_k)$ ed $f(x)=x*\chi_([0,1])(x)$ -di modo che $phi$ è "la stessa di prima" e $mu$ è finitamente additiva, finita, limitata e segnata-.
In tal modo si ha $mu(\mathcal{R})=[-2,-1]\cup[0,1]$.]
Per il secondo ho preso $S=[0,1]$... Però lascio libera la vostra fantasia.
[OT]
Già che ci siamo VG, posso chiederti di buttare un'occhiata a questo thread riguardante le funzioni semicontinue?
Visto che non sono tanto esperto non vorrei aver incasinato troppo le cose (o detto assutdità); te ne sarei grato.
[/OT]
Visto che parto per le vacanze, mi pare giusto fornire almeno un accenno di risposta al secondo quesito.
Mi dispiace che l'argomento non abbia solleticato il palato di alcuno studente, visto che l'unico a partecipare alla discussione è stato VG (che non è studente già da un bel po'... A quanto ne sò).
Siano $S:=[0,1]$ e, $AA n in NN$, $x_n:=n/(n+1)$, di modo che $x_n\to 1$ crescendo da sinistra; inoltre poniamo $\mathcal{R}= P(S)$ e: $AA n in NN$ e $AA X \in \mathcal{R}$,
$delta_n(X):=\{(1, ", se " x_n\in X), (0, ", se " x_n\notin X):}$ (insomma $delta_n$ è la delta di Dirac centrata in $x_n$).
Definiamo:
$mu(X):=\sum_(n=1)^(+oo) 1/2^n delta_n(X)$
e notiamo che $mu(X) <= \sum_(n=1)^(+oo) 1/2^n=1/2*1/(1-1/2)=1$, cosicché $mu(X)$ è finita (e non negativa) per ogni $X\in \mathcal{R}$. Per provare che $mu$ sia effettivamente una misura su $\mathcal{R}$ occorre e basta provare che per ogni successione $(X^m)$ disgiunta di elementi di $\mathcal{R}$, la serie doppia:
$\sum_(n,m=1)^(+oo) 1/2^n delta(X^m)$
è convergente: ciò è abbastanza semplice, data la maggiorazione con una serie geometrica convergente usata prima.
L'immagine $mu(\mathcal{R})$ è abbastanza strana: infatti essa contiene tutti e soli i punti dell'insieme $A=\{ \sum_(n\in I) 1/2^n\}_(I\in P(NN))$ che costituisce un continuo (infatti $|P(NN)|=|RR|$) totalmente sconnesso i cui punti risultano tutti di accumulazione.
Se qualcuno vuole divertirsi a provare queste due ultime affermazioni, lascio di nuovo campo libero... Però dò un aiutino.
Un suggerimento per la sconnessione è tenere presente che $A\in QQ$.
Per mostrare che ogni $y\in A$ è d'accumulazione per $A$, invece, suggerisco di giocare un po' con l'insieme degli indici $I_y$ che individua $y$: invero se $I_y$ è finito, si possono aggiungere elementi ad $I_y$ in modo da sommare ad $y$ quantità via via più piccole... Invece, se $I_y$ è infinito si possono eliminare elementi da $I_y$ in modo da sottrarre da $y$ quantità via via più piccole.
Ovviamente, una volta individuata un insiemi d'indici $J$, non è affatto difficile costruire un insieme $X_J \in \mathcal{R}$ tale che $mu(X_J)=\sum_(n\in J) 1/2^n$ e questa è l'ultima tessera del puzzle.
Buone vacanze a tutti.
Mi dispiace che l'argomento non abbia solleticato il palato di alcuno studente, visto che l'unico a partecipare alla discussione è stato VG (che non è studente già da un bel po'... A quanto ne sò).
"Gugo82":
2. Determinare uno spazio di misura $(S,\mathcal{R},mu)$ tale che l'immagine di $mu$ sia un insieme limitato, denso in sè (intendo che ogni punto di $mu(\mathcal{R})$ è d'accumulazione per $mu(\mathcal{R})$), non numerabile, ma non sia un intervallo o un'unione di intervalli.
Siano $S:=[0,1]$ e, $AA n in NN$, $x_n:=n/(n+1)$, di modo che $x_n\to 1$ crescendo da sinistra; inoltre poniamo $\mathcal{R}= P(S)$ e: $AA n in NN$ e $AA X \in \mathcal{R}$,
$delta_n(X):=\{(1, ", se " x_n\in X), (0, ", se " x_n\notin X):}$ (insomma $delta_n$ è la delta di Dirac centrata in $x_n$).
Definiamo:
$mu(X):=\sum_(n=1)^(+oo) 1/2^n delta_n(X)$
e notiamo che $mu(X) <= \sum_(n=1)^(+oo) 1/2^n=1/2*1/(1-1/2)=1$, cosicché $mu(X)$ è finita (e non negativa) per ogni $X\in \mathcal{R}$. Per provare che $mu$ sia effettivamente una misura su $\mathcal{R}$ occorre e basta provare che per ogni successione $(X^m)$ disgiunta di elementi di $\mathcal{R}$, la serie doppia:
$\sum_(n,m=1)^(+oo) 1/2^n delta(X^m)$
è convergente: ciò è abbastanza semplice, data la maggiorazione con una serie geometrica convergente usata prima.
L'immagine $mu(\mathcal{R})$ è abbastanza strana: infatti essa contiene tutti e soli i punti dell'insieme $A=\{ \sum_(n\in I) 1/2^n\}_(I\in P(NN))$ che costituisce un continuo (infatti $|P(NN)|=|RR|$) totalmente sconnesso i cui punti risultano tutti di accumulazione.
Se qualcuno vuole divertirsi a provare queste due ultime affermazioni, lascio di nuovo campo libero... Però dò un aiutino.
Un suggerimento per la sconnessione è tenere presente che $A\in QQ$.
Per mostrare che ogni $y\in A$ è d'accumulazione per $A$, invece, suggerisco di giocare un po' con l'insieme degli indici $I_y$ che individua $y$: invero se $I_y$ è finito, si possono aggiungere elementi ad $I_y$ in modo da sommare ad $y$ quantità via via più piccole... Invece, se $I_y$ è infinito si possono eliminare elementi da $I_y$ in modo da sottrarre da $y$ quantità via via più piccole.
Ovviamente, una volta individuata un insiemi d'indici $J$, non è affatto difficile costruire un insieme $X_J \in \mathcal{R}$ tale che $mu(X_J)=\sum_(n\in J) 1/2^n$ e questa è l'ultima tessera del puzzle.
Buone vacanze a tutti.
Ciao Gugo e buone vacanze - forse non farai in tempo a leggere questo post (magari per un po' non pensi alla matematica e forse non e' una cattiva idea).
Pero' (visto che ci avevo pensato e avevo considerato lo stesso esempio) non posso fare a meno di intervenire perche' mi pare che ti sbagli a dire che $A$ e' contenuto in $QQ$
(credo che intendessi questo dato che l'appartenza a $QQ$, non capisco che senso possa avere). Oltretutto $A$ ha la cardinalita' del continuo essendo in corrispondenza con le parti
di $NN$. A me pare che $A=[0,1]$, infatti preso un qualunque numero reale tra $0$ e $1$ lo puoi scrivere in forma binaria e prendere come $J$ gli indici delle cifre eguali a uno.
A meno che tu non intendessi che prendi solo gli indici tra le parti finite d $NN$ (e in questo caso devo ricapire tutto il problema).
Scusami poi se non sono intervenuto nell'altro thread (in cui mi pare tu abbia fatto afferazioni perfettamente corrette) - ho avuto un paio di settimane pesanti e ho guardato poco il forum.
Pero' (visto che ci avevo pensato e avevo considerato lo stesso esempio) non posso fare a meno di intervenire perche' mi pare che ti sbagli a dire che $A$ e' contenuto in $QQ$
(credo che intendessi questo dato che l'appartenza a $QQ$, non capisco che senso possa avere). Oltretutto $A$ ha la cardinalita' del continuo essendo in corrispondenza con le parti
di $NN$. A me pare che $A=[0,1]$, infatti preso un qualunque numero reale tra $0$ e $1$ lo puoi scrivere in forma binaria e prendere come $J$ gli indici delle cifre eguali a uno.
A meno che tu non intendessi che prendi solo gli indici tra le parti finite d $NN$ (e in questo caso devo ricapire tutto il problema).
Scusami poi se non sono intervenuto nell'altro thread (in cui mi pare tu abbia fatto afferazioni perfettamente corrette) - ho avuto un paio di settimane pesanti e ho guardato poco il forum.
Evvedi che errore del piffero che ho fatto... Un'insieme con la cardinalità del continuo contenuto in $QQ$, ma come si fa! 
Grazie per avermelo fatto notare; ad ogni modo il problema resta. La domanda a questo punto è: si può costruire una misura con la proprietà suddette?
Ci penserò in viaggio.
Buone vacanze a tutti.
Grazie per avermelo fatto notare; ad ogni modo il problema resta. La domanda a questo punto è: si può costruire una misura con la proprietà suddette?
Ci penserò in viaggio.
Buone vacanze a tutti.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo