Due piccoli dubbi sulle serie

[matt87]

1) Avete presente il "criterio dell'integrale" per le serie?

Se ho una successione An=f(n) ed "f" è una funzione decrescente ma con valori sempre positivi,
allora l'integrale fra M ed infinito di f(x) ha lo stesso comportamento della serie associata ad An.
Cioè se il suddetto integrale converge anche la suddetta serie converge, mentre se diverge anche l'altra diverge

Ciò significa che se convergono, convergono entrambi allo stesso valore oppure possono convergere uno ad un valore e l'altra ad un altro valore? E se divergono, divergono entrambi a +infinito o magari uno a +infinito e l'altra a -infinito?


2) Avete prresente il "criterio di Dirichlet"?
Cliccate su questa figura:


Con la frase "è limitata da un numero M" si intende "converge ad un valore M finito", giusto?


Ringrazio chiunque risponda

[Eredir]

"matt87":
2) Avete prresente il "criterio di Dirichlet"?
Cliccate su questa figura:


Con la frase "è limitata da un numero M" si intende "converge ad un valore M finito", giusto?

No, basta semplicemente che sia limitata da $M$ ovvero $|\sum_(i=0)^n c_i| <= M$ (ovviamente per ogni $n$).

Vari link utili:
http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet%27s_test
http://mathworld.wolfram.com/DirichletsTest.html
http://planetmath.org/encyclopedia/DirichletsConvergenceTest.html

[Nebula2]

1) considera $sum_{n =1}^oo n^{-2}$, $f(x)=x^{-2}$ e la funzione $[x]:=$ parte intera di x.

$int_1^oo f(x+1) dx < sum_{n =1}^oo (n+1)^{-2} = int_1^oo ([x]+1)^{-2} dx < int_1^oo f(x) dx < int_1^oo [x]^{-2} dx = sum_{n =1}^oo n ^{-2}

in generale, o integrale e serie sono entrambe finite, o vanno entrambe a $+oo$ o entrambe a $-oo$, ma se sono finite in generale il loro valore è differente.

[matt87]

grazie delle risposte, siete stati molto chiari.