Due modi per risolvere l'eq. diff.

[^Tipper^1]

Ciao. Ho da risolvere questa equazione: $y''-4y=4e^(2x)$. Porov a risolverla usando due metodi: 1metodo dei coefficienti indeterminati 2metodo di variazione dei parametri.

Tuttavia, alla fine ho due risultati diversi.

1 $y_(omg)=c_1e^(2x)+c_2e^(-2x)$,
$y_P=axe^(2x)$, derivo e sostituisco nel testo:
$y(x)=c_1e^(2x)+c_2e^(-2x)+xe^(2x)$

2 ${(c'_1e^(2x)+c'_2e^(-2x)=0),(2c'_1e^(2x)-2c'_2e^(-2x)=4e^(2x)):}$,
$y(x)=c_1e^(2x)+c_2e^(-2x)+xe^(2x)-1/4e^(2x)$

[Quinzio]

Non è che ottieni due risultati diversi, è che la costante $c_1$ "comprende" già tutte le costanti.
Nella tua soluzione hai $c_1 e^{2x}-1/4 e^{2x} = (c_1-1/4)e^{2x}$

il $-1/4$ è esso stesso una costante e viene inglobato nella costante indeterminata e quindi sparisce, lasciando solo $c_1$

[^Tipper^1]

La stessa cosa vale per quest'altra?

$x^2y''-2y=4x$
$y_(omg)=(c_1)/x+c_2x^2$
${((c'_1)/x+c'_2x^2=0),((-c'_1)/x^2+2c'_2x=4x):}$

Perché alla fine ottengo una certa soluzione, e se faccio la verifica andando a sostituire nel testo non ottengo l'identità.

[Pdirac]

La stessa cosa vale sempre.
Ricordati sempre però che per usare il metodo di variazione dei parametri l'equazione deve essere nella forma standard, cioè con coefficiente del termine di secondo ordine pari a 1... in questo caso devi dividere per $x^2$ prima di fare i calcoli

[^Tipper^1]

Grazie mille.