Due limiti semplici (?)
Ciao a tutti,
Non riesco a risolvere due limiti, che ritengo siano semplici, ma non riesco a vedere il "trucchetto". Potreste aiutarmi?
Eccoli:
1. $lim_{n \rightarrow + \infty} (\frac{(\sqrt{3}n+1)(\sqrt{3}n-1)}{3n^2} )^{4-n^2}$
2. $lim_{x \rightarrow 0} \frac{3^x - 9^x}{-4^{2x} + 5^{3x}}$
Ho provato a semplificare la frazione nel primo sperando di ottenere qualcosa del tipo $(1 + \frac{1}{x})^x$, ma ottengo tre termini dentro la parentesi. Ho provato a scrivere i vari $a^x$ del secondo limite come $a^x = e^{x ln(a)}$ e a dividere entrambi i membri per un fattore comune, non ottengo niente che riconosco.
Potreste darmi qualche suggerimento, per favore?
Non riesco a risolvere due limiti, che ritengo siano semplici, ma non riesco a vedere il "trucchetto". Potreste aiutarmi?
Eccoli:
1. $lim_{n \rightarrow + \infty} (\frac{(\sqrt{3}n+1)(\sqrt{3}n-1)}{3n^2} )^{4-n^2}$
2. $lim_{x \rightarrow 0} \frac{3^x - 9^x}{-4^{2x} + 5^{3x}}$
Ho provato a semplificare la frazione nel primo sperando di ottenere qualcosa del tipo $(1 + \frac{1}{x})^x$, ma ottengo tre termini dentro la parentesi. Ho provato a scrivere i vari $a^x$ del secondo limite come $a^x = e^{x ln(a)}$ e a dividere entrambi i membri per un fattore comune, non ottengo niente che riconosco.
Potreste darmi qualche suggerimento, per favore?
Risposte
Ciao Ziel van brand,
Sì, sono semplici.
Per l'1. basta che svolgi la moltiplicazione a numeratore e ti riconduci abbastanza facilmente al limite notevole
$lim_{f(n) \to +\infty} (1 + frac{1}{f(n)})^{f(n)} = e $
Il risultato è $e^{1/3} $.
Per il 2. invece basta che raccogli opportunamente e ti riconduci a qualche limite notevole del genere seguente:
$lim_{f(x) \to 0} frac{a^{f(x)} - 1}{f(x)} = ln a $
Il risultato in questo caso è $\frac{- ln 3}{ln(125/16)} $
Sì, sono semplici.
Per l'1. basta che svolgi la moltiplicazione a numeratore e ti riconduci abbastanza facilmente al limite notevole
$lim_{f(n) \to +\infty} (1 + frac{1}{f(n)})^{f(n)} = e $
Il risultato è $e^{1/3} $.
Per il 2. invece basta che raccogli opportunamente e ti riconduci a qualche limite notevole del genere seguente:
$lim_{f(x) \to 0} frac{a^{f(x)} - 1}{f(x)} = ln a $
Il risultato in questo caso è $\frac{- ln 3}{ln(125/16)} $
Sì, per il primo mi sono reso conto che la mia mente continuava a vedere $(\sqrt{3}n -1)^2$ al numeratore... Sono stupido.
Per il secondo, anche se fin da subito ho pensato a quel limite notevole, non riesco a trasformare il limite in iniziale in una forma simile. Puoi darmi un suggerimento in più?
Grazie pilloeffe.
Per il secondo, anche se fin da subito ho pensato a quel limite notevole, non riesco a trasformare il limite in iniziale in una forma simile. Puoi darmi un suggerimento in più?
Grazie pilloeffe.
"Ziel van brand":
Puoi darmi un suggerimento in più?
Certo... Prova a raccogliere a numeratore $9^x $, mentre il denominatore lo puoi scrivere nella forma $5^{3x} - 1 - (4^{2x} - 1) $
Risolto, ma ho dubbi sulla correttezza dei passaggi: sostituire con funzioni asintotiche dei termini in una somma a volte mi ha dato problemi.
$\frac{9^x(3^{-x} - 1)}{(5^{3x}-1) - (4^{2x}-1)} \approx \frac{9^x(-x ln 3)}{(x ln 125) - (x ln 16)}$
Così ottengo il risultato corretto (ho le soluzioni).
Tuttavia questo a volte mi ha dato risultati errati proprio per quanto detto. L'asintoticità, come regoletta dorata che mi è stata detta ai lontani tempi del liceo, può essere usata a occhi chiusi per sostituire funzioni che moltiplicano altro. In caso di somma, usare lo sviluppo in serie, facendo attenzione all' "o-piccolo".
Scusami, mi rendo conto che sono cose semplici. Sono un po' arrugginito.
$\frac{9^x(3^{-x} - 1)}{(5^{3x}-1) - (4^{2x}-1)} \approx \frac{9^x(-x ln 3)}{(x ln 125) - (x ln 16)}$
Così ottengo il risultato corretto (ho le soluzioni).
Tuttavia questo a volte mi ha dato risultati errati proprio per quanto detto. L'asintoticità, come regoletta dorata che mi è stata detta ai lontani tempi del liceo, può essere usata a occhi chiusi per sostituire funzioni che moltiplicano altro. In caso di somma, usare lo sviluppo in serie, facendo attenzione all' "o-piccolo".
"pilloeffe":
Certo...
Scusami, mi rendo conto che sono cose semplici. Sono un po' arrugginito.
Beh, in realtà per il limite proposto non c'è alcun bisogno di tirare in ballo gli sviluppi asintotici:
$lim_{x \to 0} \frac{3^x - 9^x}{-4^{2x} + 5^{3x}} = lim_{x \to 0} \frac{9^x[(1/3)^x - 1]}{5^{3x} - 1 - (4^{2x} - 1)} = lim_{x \to 0} \frac{9^x[(1/3)^x - 1]}{x} \cdot frac{x}{5^{3x} - 1 - (4^{2x} - 1)} = $
$ = lim_{x \to 0} \frac{9^x[(1/3)^x - 1]}{x} \cdot frac{1}{3 frac{5^{3x} - 1}{3x} - 2 frac{4^{2x} - 1}{2x}} = lim_{x \to 0} 9^x \frac{(1/3)^x - 1}{x} \cdot lim_{x \to 0} frac{1}{3 frac{5^{3x} - 1}{3x} - 2 frac{4^{2x} - 1}{2x}} = $
$ = ln(1/3) \cdot frac{1}{3 ln 5 - 2 ln 4} = frac{ln 3^{- 1}}{ln 5^3 - ln 4^2} = \frac{- ln 3}{ln(125/16)} $
$lim_{x \to 0} \frac{3^x - 9^x}{-4^{2x} + 5^{3x}} = lim_{x \to 0} \frac{9^x[(1/3)^x - 1]}{5^{3x} - 1 - (4^{2x} - 1)} = lim_{x \to 0} \frac{9^x[(1/3)^x - 1]}{x} \cdot frac{x}{5^{3x} - 1 - (4^{2x} - 1)} = $
$ = lim_{x \to 0} \frac{9^x[(1/3)^x - 1]}{x} \cdot frac{1}{3 frac{5^{3x} - 1}{3x} - 2 frac{4^{2x} - 1}{2x}} = lim_{x \to 0} 9^x \frac{(1/3)^x - 1}{x} \cdot lim_{x \to 0} frac{1}{3 frac{5^{3x} - 1}{3x} - 2 frac{4^{2x} - 1}{2x}} = $
$ = ln(1/3) \cdot frac{1}{3 ln 5 - 2 ln 4} = frac{ln 3^{- 1}}{ln 5^3 - ln 4^2} = \frac{- ln 3}{ln(125/16)} $
Giusto.
Grazie mille, davvero.
Devo fare più pratica.
Risolto!
Grazie mille, davvero.
Devo fare più pratica.
Risolto!
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