Due limiti di funzioni esponenziali... Piccolo problema

[ST481240162]

Salve,
vorrei chiedere un piccolo aiuto. Ho i limiti seguenti:

$ lim_(x -> -oo ) (1 + e^x)^x; $


$ lim_(x -> +oo ) (1 + e^x)^-x $

prendiamo ad esempio il primo: lo "riduco" nella forma:

$ lim_(x -> -oo ) {[(1 + 1 / 1 / e^x )]^(1 / e^x)} ^(x * e^x) $

e ottengo

$ lim_(x -> -oo ) e ^(x * e^x) $

ricado di conseguenza nella forma indeterminata $ (-oo)*(0) $ . Cosa faccio per risolvere il limite in questione (e l'altro), visto che questo modus operandi non permette di risolverlo?


Saluti!

[Seneca1]

"ST481240162":Salve,
vorrei chiedere un piccolo aiuto. Ho i limiti seguenti:

$ lim_(x -> -oo ) (1 + e^x)^x; $


$ lim_(x -> +oo ) (1 + e^x)^-x $

Io userei i logaritmi:

$ lim_(x -> -oo ) (1 + e^x)^x = lim_(x -> -oo ) e^(x*log(1 + e^x)) = lim_(x -> -oo) e^( x * e^(x) ) $

ed è dove sei arrivato tu...

A questo punto $lim_(x -> -oo) x * e^(x) = lim_( t -> +oo) - t/e^t = 0$

avendo posto $t = -x $ e sfruttando il fatto che $e^t$ è un infinito di ordine superiore rispetto a $t^alpha$ , $AA alpha > 0$.

[Raptorista1]

Siccome l'esponenziale è una funzione bellissima, puoi fare il limite solo dell'argomento e poi dire che
\[
\lim_{x \to -\infty} e^{xe^x} =e^{\lim_{x \to -\infty} xe^x}
\]

[ST481240162]

Grazie mille, chiarissimi!

Buona serata a voi