Due limiti con arctan e arcsen
Tra i vari esercizi ho trovato due limiti che proprio non riesco a calcolare, ho provato in tutti i modi ma non arrivo mai a nulla; li posto per chi avesse voglia di darmi una mano 
$\lim_{x \to \0^+}(1/x^2-1/(arcsen^2x))$
$\lim_{x \to \+infty}x(arctanx-(pix+4)/(2x+3))$
Ho provato facendo l'mcm, mettendo le x in evidenza, riconducendo a De Hopital, ma non mi riescono. Dovrebbero essere calcolabili senza ricorrere agli sviluppi di Taylor. Il risultati sono $1/3$ per il primo e $3pi/4-3$ per il secondo.
$\lim_{x \to \0^+}(1/x^2-1/(arcsen^2x))$
$\lim_{x \to \+infty}x(arctanx-(pix+4)/(2x+3))$
Ho provato facendo l'mcm, mettendo le x in evidenza, riconducendo a De Hopital, ma non mi riescono. Dovrebbero essere calcolabili senza ricorrere agli sviluppi di Taylor. Il risultati sono $1/3$ per il primo e $3pi/4-3$ per il secondo.
Risposte
Ciao, ho calcolato or ora il secondo e mi viene, tu come hai svolto i calcoli?
Ciao, per quanto riguarda il primo, puoi fare la sostituzione $x=sen(t)$, da cui ti riconduci alla forma:
$lim_(t->0^+) 1/(sen^2t)-1/t^2$
Dal quale non dovrebbe essere difficile arrivare al risultato corretto senza l'utilizzo degli sviluppi in serie. Per quanto riguardz il secondo, ci sto ancora lavorando
$lim_(t->0^+) 1/(sen^2t)-1/t^2$
Dal quale non dovrebbe essere difficile arrivare al risultato corretto senza l'utilizzo degli sviluppi in serie. Per quanto riguardz il secondo, ci sto ancora lavorando
Per il secondo comunque puoi portare a denominatore la \( x \) in modo tale da avere: \( lim_{x\to\infty} \frac{arctan x-\frac{\pi x+4}{2x+3}}{\frac{1}{x}} \) usando De l'Hopital viene
al secondo per oo l' espressione pix+4/ 2x+3 tende a pi/2, pi/2 $=$ arctg(x)+arctg(1/x) applicando il limite notevole arctg(1/x)$=$ 1/x, x*(1/x)= 1, il primo è agevolmente risolvibile con le serie di taylor dopo aver fatto il m.c.m....
Il secondo limite è molto più semplice di quello che possa sembrare; tanto De L'Hopital quanto Taylor sono un'esagerazione.
Ricordando che
\[ \arctan x = \frac{\pi}{2} - \arctan \frac{1}{x} \]
il limite diventa
\[ \lim_{x \to + \infty} { x \left ( \frac{\pi}{2} - \arctan \frac{1}{x} - \frac{ \pi x + 4}{2x + 3} \right )} = \lim_{ x \to +\infty} { \left ( - \frac{\arctan \frac{1}{x}}{\frac{1}{x}} + \frac{ x \left (\frac{3}{2} \pi - 4 \right )} {2x + 3} \right ) }= -1 + \frac{\frac{3}{2} \pi - 4}{2} = \]
\[ = \frac{3}{4} \pi - 3 \]
Ricordando che
\[ \arctan x = \frac{\pi}{2} - \arctan \frac{1}{x} \]
il limite diventa
\[ \lim_{x \to + \infty} { x \left ( \frac{\pi}{2} - \arctan \frac{1}{x} - \frac{ \pi x + 4}{2x + 3} \right )} = \lim_{ x \to +\infty} { \left ( - \frac{\arctan \frac{1}{x}}{\frac{1}{x}} + \frac{ x \left (\frac{3}{2} \pi - 4 \right )} {2x + 3} \right ) }= -1 + \frac{\frac{3}{2} \pi - 4}{2} = \]
\[ = \frac{3}{4} \pi - 3 \]
secondo me è 1.....
"taurus85":
secondo me è 1.....
Va bene, ma la matematica non si basa sui "secondo me", ed è abbastanza improbabile che Wolfram Alpha sbagli un limite https://www.wolframalpha.com/input/?i=l ... 3%29%29%29 . Io potrei anche aver sbagliato (anche se difficilmente si potrebbe sbagliare di così tanto il risultato), ma sia Sermazzo sia Wolfram Alpha confermano il risultato, quindi credo proprio di no. Comunque, esponimi il perchè ritieni che il risultato sia 1, magari in una maniera leggermente più accettabile, e vedremo.
Grazie per i consigli, il secondo mi è riuscito con De Hopital ed un po' di pazienza. Comunque sia:
Non conoscevo questa espressione, mai vista da nessuna parte; Berationalgetreal come ci si arriva?
Per il secondo limite invece sono ancora in dubbio:
Che io sappia $sen(arcsen(x))=x\nearcsen(sen(x))$; sostituendo $x=sen(t)$ si ha $arcsen^2(sen(t))$, che tu hai considerato uguale a $t^2$, non credo sia fattibile; correggetemi se sbaglio.
"Berationalgetreal":
Ricordando che
\[ \arctan x = \frac{\pi}{2} - \arctan \frac{1}{x} \]
Non conoscevo questa espressione, mai vista da nessuna parte; Berationalgetreal come ci si arriva?
Per il secondo limite invece sono ancora in dubbio:
"Alegomind":
Ciao, per quanto riguarda il primo, puoi fare la sostituzione $x=sen(t)$, da cui ti riconduci alla forma:
$lim_(t->0^+) 1/(sen^2t)-1/t^2$
Che io sappia $sen(arcsen(x))=x\nearcsen(sen(x))$; sostituendo $x=sen(t)$ si ha $arcsen^2(sen(t))$, che tu hai considerato uguale a $t^2$, non credo sia fattibile; correggetemi se sbaglio.
"Sermazzo":
Grazie per i consigli, il secondo mi è riuscito con De Hopital ed un po' di pazienza. Comunque sia:
[quote="Berationalgetreal"]Ricordando che
\[ \arctan x = \frac{\pi}{2} - \arctan \frac{1}{x} \]
Non conoscevo questa espressione, mai vista da nessuna parte; Berationalgetreal come ci si arriva? [/quote]
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