Due limiti che non so risolvere (SENZA De L'Hopital)
Riuscirò a prendere l'esame di analisi? Mi incarto sempre con l'uso dei limiti notevoli. Eccone due da risolvere senza De L'Hopital:
1) $lim_(x->0) [sin^2 x-2cosx+2cos^2 x]/(log_(e^3)^2 (1+sinx^2))$
2) $lim_(x->0) [ root(4) (arcsin(1/(cos^2 x))) -1 ]/ (1-2e^x + e^2x)$
So che si chiede di proporre una risoluzione da chi scrive il messaggio, ma per favore, ho tentato di risolverli decine di volte cercando di cambiare approccio, non fatemi riscrivere di nuovo uno di quei tentativi che mi viene la nausea. Tanto lo scopo sarebbe di rendere "attivo" chi chiede aiuto, senza sfruttare il forum come se fosse un risolutore di compiti per casa... ma penso sia chiaro (nonostante ho pochi messaggi sul forum) che non è il mio caso.
1) $lim_(x->0) [sin^2 x-2cosx+2cos^2 x]/(log_(e^3)^2 (1+sinx^2))$
2) $lim_(x->0) [ root(4) (arcsin(1/(cos^2 x))) -1 ]/ (1-2e^x + e^2x)$
So che si chiede di proporre una risoluzione da chi scrive il messaggio, ma per favore, ho tentato di risolverli decine di volte cercando di cambiare approccio, non fatemi riscrivere di nuovo uno di quei tentativi che mi viene la nausea. Tanto lo scopo sarebbe di rendere "attivo" chi chiede aiuto, senza sfruttare il forum come se fosse un risolutore di compiti per casa... ma penso sia chiaro (nonostante ho pochi messaggi sul forum) che non è il mio caso.
Risposte
Un aiuto per il primo:
a numeratore scrivi \(\sin^2 x = 1-\cos^2 x\); a denominatore tieni conto che il logaritmo di \(1\), in qualsiasi base, vale \(0\).
a numeratore scrivi \(\sin^2 x = 1-\cos^2 x\); a denominatore tieni conto che il logaritmo di \(1\), in qualsiasi base, vale \(0\).
E' una cosa che ho già fatto, però dopo mi incarto. Ora ci riprovo e vedo se mi viene qualcosa in mente. Comunque al denominatore ho mancato le parentesi, l'argomento non è solo $1$ ma tutto. ora edito
Come volevasi dimostrare mi è uscito XD. Si vede che l'aria del forum mi fa "cacciare la scienza" 
.
Prima mi incartavo perché dopo aver trasformato $sin^2 x$ in $1-cos^2 x$ sommavo algebricamente. Invece dovevo scomporre usando "somma per la differenza" e poi raccogliere $1-cos^2 x$. Certo che se all'esame devo usare sti trucchetti è sicuro che non lo passo
.
Ecco lo svolgimento:
$= lim_(x->0) (sin^2 x-2cosx+2cos^2 x) * 1/(log_(e^3)^2 (1+sinx^2))$
$= lim_(x->0) (1-cos^2 x - 2cosx + 2cos^2 x) * 1/(log_(e^3)^2 (1+sinx^2))$
$= lim_(x->0) ((1-cosx)(1+cosx) - 2cosx(1-cosx)) * 1/(log_(e^3)^2 (1+sinx^2))$
$= lim_(x->0) (1-cosx)(1+cosx - 2cosx) * 1/(log_(e^3)^2 (1+sinx^2))$
$= lim_(x->0) (1-cosx)(1-cosx) * 1/(log_(e^3)^2 (1+sinx^2))$
$= lim_(x->0) (1-cosx)/x^2 (1-cosx)/x^2 * (x^4)/(sin^2 x^2) * (sin^2 x^2)/(log_(e^3)^2 (1+sinx^2))$
$= 1/2 * 1/2 * 1 * 1/(log_(e^3)^2 (e)) = 1/4 * log^2 e^3 = 9/4$
Urrà...
Per il secondo ci provo appena torno a casa. In effetti il secondo l'ho provato a fare solo una volta, ma ero scoraggiato dagli insuccessi del primo.
Think Math!
. Prima mi incartavo perché dopo aver trasformato $sin^2 x$ in $1-cos^2 x$ sommavo algebricamente. Invece dovevo scomporre usando "somma per la differenza" e poi raccogliere $1-cos^2 x$. Certo che se all'esame devo usare sti trucchetti è sicuro che non lo passo
.Ecco lo svolgimento:
$= lim_(x->0) (sin^2 x-2cosx+2cos^2 x) * 1/(log_(e^3)^2 (1+sinx^2))$
$= lim_(x->0) (1-cos^2 x - 2cosx + 2cos^2 x) * 1/(log_(e^3)^2 (1+sinx^2))$
$= lim_(x->0) ((1-cosx)(1+cosx) - 2cosx(1-cosx)) * 1/(log_(e^3)^2 (1+sinx^2))$
$= lim_(x->0) (1-cosx)(1+cosx - 2cosx) * 1/(log_(e^3)^2 (1+sinx^2))$
$= lim_(x->0) (1-cosx)(1-cosx) * 1/(log_(e^3)^2 (1+sinx^2))$
$= lim_(x->0) (1-cosx)/x^2 (1-cosx)/x^2 * (x^4)/(sin^2 x^2) * (sin^2 x^2)/(log_(e^3)^2 (1+sinx^2))$
$= 1/2 * 1/2 * 1 * 1/(log_(e^3)^2 (e)) = 1/4 * log^2 e^3 = 9/4$
Urrà...
Per il secondo ci provo appena torno a casa. In effetti il secondo l'ho provato a fare solo una volta, ma ero scoraggiato dagli insuccessi del primo.
Think Math!
e grazie 
Il secondo è scritto correttamente? Non mi torna alcuna indecisione...
Sembra anche a me che nel secondo ci sia un errore (o un trabocchetto...)
Ho il sospetto che l'\(e^2 x\) che compare a denominatore sia un \(e^{2x}\).
@Rigel: l'ho interpretato anch'io così, il mio dubbio è legato però a quell' $arcsin(1/(cos^2x))$ : esiste soltanto quando $cos^2 x=1$ (viceversa infatti l'argomento dell'$arcsin$ risulterebbe maggiore di $1$), dunque la funzione ha dominio ${k pi}$ con $k!=0$ . Pertanto ne' zero ne' alcun altro numero è punto di accumulazione. Di conseguenza il limite per $x to 0$ non esiste.
"Palliit":
@Rigel: l'ho interpretato anch'io così, il mio dubbio è legato però a quell' $arcsin(1/(cos^2x))$ : esiste soltanto quando $cos^2 x=1$ (viceversa infatti l'argomento dell'$arcsin$ risulterebbe maggiore di $1$), dunque la funzione ha dominio ${k pi}$ con $k!=0$ . Pertanto ne' zero ne' alcun altro numero è punto di accumulazione. Di conseguenza il limite per $x to 0$ non esiste.
Hai perfettamente ragione.
Più che non esistere, direi che nemmeno si può parlare di limite, visto che, come hai osservato, \(0\) non è un punto di accumulazione per il dominio della funzione.
@Palliit
Ciò che dici è ovviamente giustissimo, ma mi sfugge il motivo per cui escludi lo $0$ dal dominio reale...
Ciò che dici è ovviamente giustissimo, ma mi sfugge il motivo per cui escludi lo $0$ dal dominio reale...
@dott.ing:
Palliit ha correttamente osservato che \(0\), pur appartenendo al dominio \(D\) della funzione \(\arcsin(1/\cos^2 x)\), non è un punto di accumulazione di \(D\).
No limit point, no limit
Palliit ha correttamente osservato che \(0\), pur appartenendo al dominio \(D\) della funzione \(\arcsin(1/\cos^2 x)\), non è un punto di accumulazione di \(D\).
No limit point, no limit
@Rigel: Ok, fin lì tutto bene, ma è questo:
che non mi torna...
"Palliit":
[...] dunque la funzione ha dominio ${k pi}$ con $k!=0$ .
che non mi torna...
La funzione di partenza (non solo \(\arcsin...\)) ha anche un denominatore che si annulla per \(x=0\).
In ogni caso il fatto che la funzione sia definita o meno in \(0\), che è il punto in cui si vorrebbe calcolare il limite, non fa alcuna differenza.
In ogni caso il fatto che la funzione sia definita o meno in \(0\), che è il punto in cui si vorrebbe calcolare il limite, non fa alcuna differenza.
@dott.ing: prendendo per buona l'interpretazione di Rigel (e mia) circa l'esponenziale a denominatore, quest'ultimo diventa: $1-2e^x+e^(2x)=(e^x-1)^2$, che si annulla per $x=0$.
EDIT: scusa Rigel, stavo scrivendo mentre rispondevi tu
EDIT: scusa Rigel, stavo scrivendo mentre rispondevi tu
"Rigel":
In ogni caso il fatto che la funzione sia definita o meno in \(0\), che è il punto in cui si vorrebbe calcolare il limite, non fa alcuna differenza.
Certo, la mia era una domanda sul dominio, indipendentemente dal limite.
Mi perdevo perché ragionavo sul denominatore originale, tutto qui...
ohohoh i miei soliti errori di battitura (e di lettura) creano scompiglio :p. In effetti era $e^(2x)$.
Pardon
Pardon
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