Due Limiti

[hakzc]

Ragazzi, non riesco a risolvere questi due limiti (la risoluzione deve essere fatta senza l'uso di limiti notevoli, e senza ricorrere a de l'Hopital)

Limite 1
$\lim_{x \to \1}(ln^3x+lnxsqrt(|lnx|))/(2|lnx|^(3/2)+ln^2x)$

Limite 2

$\lim_{x \to \0}(e^(-1/|x|)cosx+1/(x+sqrt(|x|)))/(ln(1+x)+(arctan(1/x^2))/sqrt(|x|))$

Vi prego aiutatemi! D:

[pilloeffe]

Ciao eulero12,

"eulero12":la risoluzione deve essere fatta senza l'uso di limiti notevoli, e senza ricorrere a de l'Hopital

Spero che almeno siano concessi gli sviluppi in serie, altrimenti la vedo dura...
Però aspetta... Adesso che lo osservo bene almeno il primo è facile, non esiste!
Se invece $x \to 1^{\pm} $ allora il risultato del limite è $\pm 1/2 $

[hakzc]

L'esercizio nel libro è inserito ancor prima di affrontare i limiti notevoli, quindi deduco bisogna risolverlo solo utilizzando trucchi algebrici

[hakzc]

Il primo l'ho risolto.. per quanto riguarda il secondo ancora nada

[pilloeffe]

Guardalo bene... Il termine al numeratore $ ln x sqrt{|ln x|} $ non assomiglia vagamente a qualcosa che c'è al denominatore?

Anche il secondo è facile: dopo qualche denominatore comune e ricordando che, passami la scrittura, $arctan(+\infty) = pi/2 $ si trova il risultato: $ frac{1}{pi/2} = 2/\pi $

[hakzc]

Il secondo proprio non mi viene, ho raccolto a denominatore, ma non riesco a procedere

[pilloeffe]

Si ha:

$ lim_{x \to \0}(e^(-1/|x|)cosx+1/(x+sqrt(|x|)))/(ln(1+x)+(arctan(1/x^2))/sqrt(|x|)) = lim_{x \to \0} ((x+sqrt(|x|)) e^(-1/|x|) cosx + 1)/((x+sqrt(|x|)) ln(1+x)+ frac{x+sqrt(|x|)}{sqrt(|x|)} arctan(1/x^2)) = $
$ = lim_{x \to \0} ((x+sqrt(|x|)) e^(-1/|x|) cosx + 1)/((x+sqrt(|x|)) ln(1+x)+ (1 + x/sqrt(|x|)) arctan(1/x^2)) = $
$ = lim_{x \to \0} ((x+sqrt(|x|)) e^(-1/|x|) cosx + 1)/((x+sqrt(|x|)) ln(1+x)+ (1 \pm sqrt(|x|)) arctan(1/x^2)) = $
$ = frac{0 + 1}{0 + (1 \pm 0)frac{pi}{2}} = frac{1}{frac{pi}{2}} = frac{2}{pi} $

ove per il $\pm $ vale il segno $+$ se $x > 0 $, il segno $- $ se $x < 0 $.