Due integrali impropri
ragazzi ho dei dubbi sui seguenti integrali impropri
$ int_(1)^(oo ) (x+1)/(x^3+6x^2+10x) dx $ lo spezzo e diventa $ int_(1)^(oo ) x/(x^3+6x^2+10x) dx + int_(1)^(oo ) 1 /(x^3+6x^2+10x) dx $
la prima parte la semplifico cosi: $ int_(1)^(oo ) x /(x(x^2+6x+10)) dx =int_(1)^(oo ) 1 /(x^2+6x+10) dx $
dopodiche sappiamo che la prima parte
$ 1 /(x^2+6x+10) $ è asintotica a $1/x^2$
e l seconda $ 1 /(x^3+6x^2+10x)$ è asintotica a $1/x^3$
dato che noi sappiamo che
$int_(a)^(oo ) 1 /(x^p) dx $ è convergente se a è >0 e p>1 possiamo affermare che l'integrale iniziale converge
il secondo invece $ int_(0)^(oo ) x^3e^(-x+1) dx $ uso la tecnica della sostituzione
$e^(-x+1)=t$ $x=1-log t$ e $dx=- 1/t dt$
quindi:
$- int_(0)^(oo ) (1-log t)^3 t 1/t dt $
semplifico e
$ - int_(0)^(oo ) (1-log t)^3 dt $
ora di nuovo sostizuione
$1-logt=z$ e $dx=- 1/z dz$
quindi
$ int_(0)^(oo ) z^3 1/z dz $
semplifico
$ int_(0)^(oo ) z^2 dz $
quindi la soluzione $ z^3/3$ ora posso fare le sostituzioni a ritroso e ottengo $(1-x^3)/3$
ora faccio il limite di questa soluzione e scopro che è divergente a $-oo $
$ int_(1)^(oo ) (x+1)/(x^3+6x^2+10x) dx $ lo spezzo e diventa $ int_(1)^(oo ) x/(x^3+6x^2+10x) dx + int_(1)^(oo ) 1 /(x^3+6x^2+10x) dx $
la prima parte la semplifico cosi: $ int_(1)^(oo ) x /(x(x^2+6x+10)) dx =int_(1)^(oo ) 1 /(x^2+6x+10) dx $
dopodiche sappiamo che la prima parte
$ 1 /(x^2+6x+10) $ è asintotica a $1/x^2$
e l seconda $ 1 /(x^3+6x^2+10x)$ è asintotica a $1/x^3$
dato che noi sappiamo che
$int_(a)^(oo ) 1 /(x^p) dx $ è convergente se a è >0 e p>1 possiamo affermare che l'integrale iniziale converge
il secondo invece $ int_(0)^(oo ) x^3e^(-x+1) dx $ uso la tecnica della sostituzione
$e^(-x+1)=t$ $x=1-log t$ e $dx=- 1/t dt$
quindi:
$- int_(0)^(oo ) (1-log t)^3 t 1/t dt $
semplifico e
$ - int_(0)^(oo ) (1-log t)^3 dt $
ora di nuovo sostizuione
$1-logt=z$ e $dx=- 1/z dz$
quindi
$ int_(0)^(oo ) z^3 1/z dz $
semplifico
$ int_(0)^(oo ) z^2 dz $
quindi la soluzione $ z^3/3$ ora posso fare le sostituzioni a ritroso e ottengo $(1-x^3)/3$
ora faccio il limite di questa soluzione e scopro che è divergente a $-oo $
Risposte
Se non ho fatto male i conti, entrambi gli integrali convergono 
dell' ultimo esercizio ho calcolato il limite
$ 1/3 lim_(x -> oo) (1-x)^3 = -oo $
$ 1/3 lim_(x -> 0) (1-x)^3 = 1/3 $
$-oo - 1/3= -oo$
$ 1/3 lim_(x -> oo) (1-x)^3 = -oo $
$ 1/3 lim_(x -> 0) (1-x)^3 = 1/3 $
$-oo - 1/3= -oo$
il secondo esercizio da quello che dici è sbagliato...per vedere se converge calcolo il limite per gli estremi dell 'integrale iniziale $ int_(0)^(oo) x^3e^(-x+1) dx $
alla soluzione che è $(1-x)^3/3$ allora $1/3 lim_(x -> oo) (1-x)^3 = -oo$ e $1/3 lim_(x -> 0) (1-x)^3 = 1/3$
alla soluzione che è $(1-x)^3/3$ allora $1/3 lim_(x -> oo) (1-x)^3 = -oo$ e $1/3 lim_(x -> 0) (1-x)^3 = 1/3$
Pure a me il secondo risulta convergente. Sicuro che non ci sia qualche errore nelle sostituzioni o negli estremi di integrazione dopo di esse (sembra tu non li abbia mai cambiati)?
Comunque puoi integrare tre volte per parti e vedere che converge a $6e$.
Dubito fortemente che la tua primitiva in $x$ sia corretta, se la derivi non ti torna neanche lontanamente la funzione integranda.
Comunque puoi integrare tre volte per parti e vedere che converge a $6e$.
Dubito fortemente che la tua primitiva in $x$ sia corretta, se la derivi non ti torna neanche lontanamente la funzione integranda.
A me viene convergente perché il limite all'infinito è nullo con ordine superiore a 1:
$lim_(x->+oo) x^3 e^(1-x) = 0 text( di ordine >1) => text(converge)$
"Mephlip":
Pure a me il secondo risulta convergente. Sicuro che non ci sia qualche errore nelle sostituzioni o negli estremi di integrazione dopo di esse (sembra tu non li abbia mai cambiati)?
Comunque puoi integrare tre volte per parti e vedere che converge a $6e$.
Dubito fortemente che la tua primitiva in $x$ sia corretta, se la derivi non ti torna neanche lontanamente la funzione integranda.
non li ho mai cambiati perche' dopo andando a ritroso con le sostituzioni non devo usare gli estremi iniziali?
"Brancaleone":Sono d accordo con te però per arrivare alla tua stessa conclusione sto utilizzando un altro procedimento come puoi vedere dal primo post...(si ci sto sbattendo la testa come un pirla)
A me viene convergente perché il limite all'infinito è nullo con ordine superiore a 1:
$lim_(x->+oo) xe^(1-x) = 0 text( di ordine >1) => text(converge)$
Questo procedimento che hai usato è noto come...?
Grazie mille
Ciao mic85rm,
In merito al primo integrale proposto non mi dilungo perché sei già arrivato allo conclusione corretta: è convergente.
Per il secondo integrale proposto si ha:
$ \int_(0)^(+\infty) x^3 e^(-x+1) dx = e \int_(0)^(+\infty) x^3 e^(-x) dx $
L'ultimo integrale scritto è del tipo $\int x^n e^{ax} dx $ con $n = 3 $ e $a = - 1 $, che sono integrali piuttosto standard che si risolvono integrando per parti in modo da abbassare il grado di $x$. Si ottiene:
$ \int x^3 e^(-x) dx = - e^{-x}(x^3 + 3x^2 + 6x + 6) + c $
Perciò si ha:
$ \int_(0)^(+\infty) x^3 e^(-x+1) dx = e \int_(0)^(+\infty) x^3 e^(-x) dx = e[ - e^{-x}(x^3 + 3x^2 + 6x + 6)]_0^{+infty} = 6e $
come peraltro ti ha già scritto Mephlip. Dunque anche il secondo integrale proposto è convergente.
In merito al primo integrale proposto non mi dilungo perché sei già arrivato allo conclusione corretta: è convergente.
Per il secondo integrale proposto si ha:
$ \int_(0)^(+\infty) x^3 e^(-x+1) dx = e \int_(0)^(+\infty) x^3 e^(-x) dx $
L'ultimo integrale scritto è del tipo $\int x^n e^{ax} dx $ con $n = 3 $ e $a = - 1 $, che sono integrali piuttosto standard che si risolvono integrando per parti in modo da abbassare il grado di $x$. Si ottiene:
$ \int x^3 e^(-x) dx = - e^{-x}(x^3 + 3x^2 + 6x + 6) + c $
Perciò si ha:
$ \int_(0)^(+\infty) x^3 e^(-x+1) dx = e \int_(0)^(+\infty) x^3 e^(-x) dx = e[ - e^{-x}(x^3 + 3x^2 + 6x + 6)]_0^{+infty} = 6e $
come peraltro ti ha già scritto Mephlip. Dunque anche il secondo integrale proposto è convergente.
"pilloeffe":Grazie pilloeffe.
Ciao mic85rm,
In merito al primo integrale proposto non mi dilungo perché sei già arrivato allo conclusione corretta: è convergente.
Per il secondo integrale proposto si ha:
$ \int_(0)^(+\infty) x^3 e^(-x+1) dx = e \int_(0)^(+\infty) x^3 e^(-x) dx $
L'ultimo integrale scritto è del tipo $\int x^n e^{ax} dx $ con $n = 3 $ e $a = - 1 $, che sono integrali piuttosto standard che si risolvono integrando per parti in modo da abbassare il grado di $x$. Si ottiene:
$ \int x^3 e^(-x) dx = - e^{-x}(x^3 + 3x^2 + 6x + 6) + c $
Perciò si ha:
$ \int_(0)^(+\infty) x^3 e^(-x+1) dx = e \int_(0)^(+\infty) x^3 e^(-x) dx = e[ - e^{-x}(x^3 + 3x^2 + 6x + 6)]_0^{+infty} = 6e $
come peraltro ti ha già scritto Mephlip. Dunque anche il secondo integrale proposto è convergente.
nel procedimento che ho postato io non riesco a trovare l errore nelle sostituzioni...sai indicarmi dove sta?
"mic85rm":
nel procedimento che ho postato io non riesco a trovare l errore nelle sostituzioni...sai indicarmi dove sta?
Premesso che ti invito a non prendere quanto ti dico per oro colato perché l'ultimo integrale che ho risolto per sostituzione risale più o meno al 2014[nota]Penso comunque che due teste siano meglio di una anche se la mia è parecchio fuori allenamento.
[/nota], quello che non mi convince è che quando hai effettuato la sostituzione, non hai adeguato gli estremi di integrazione. In altre parole"mic85rm":
$ e^(-x+1)=t $ $ x=1-log t $ e $ dx=- 1/t dt $
Per $x=0$, $t=e^(-x+1)=e$ mentre per $x->+\infty$, $t=e^(-x+1)->0$ quindi l'integrale diventa
$- \int_e^0 (1-log(t))^3 t dt/t = \int_0^e (1-log(t))^3 dt$
e così via anche per l'altra sostituzione.
"mic85rm":
ora di nuovo sostizuione
$1-logt=z$ e $dx=- 1/z dz$
Io credo che l'errore sia qui, quando differenzi ambo i membri dovresti avere $-\frac{dt}{t}=dz$; perciò poi hai che $dt=-tdz$ e quindi devi esplicitarti $t$ in funzione di $z$ dalla sostituzione $1-\ln t=z$ e poi sostituirlo in $-tdz$ per ottenere il corretto differenziale nella variabile $z$ da sostituire al posto di $dt$.
Non so da dove sia uscito quel $dt=-frac{dz}{z}$, sembra come che tu abbia confuso cosa differenziare.
Però non ne sono certo, mi ricordo che un mio collega un tempo mi fece un ragionamento simile e anche allora i conti non tornavano e non è che sapessi spiegargli bene il perché.
Ora neanche lo so spiegare con certezza, perciò prendi per le pinze ciò che ho detto e aspetta pareri più esperti!
Riflettendoci e rileggendo con calma, penso tu ti sia perso un po' di cose nei conti.
Il punto è questo: $dt=-tdz$, perciò poi bisogna ricavare $-t$ dalla sostituzione $1-\ln t=z$; questo porta a $\frac{1}{t}=e^{z-1}$, dunque si ha infine che $-t=-\frac{1}{e^{z-1}}$.
Perciò
$$dt=-\frac{dz}{e^{z-1}}$$
E dunque (sostituendo gli estremi di integrazione)
$$\int_0^{+\infty} x^3e^{x+1}dx=-\int_{+\infty}^0 \frac{z^3}{e^{z-1}}dz=\int_0^{+\infty} \frac{z^3}{e^{z-1}}dz$$
Che non è propriamente più semplice da integrare rispetto a quello di partenza.
Il fatto che l'ultimo integrale sia così simile al primo credo sia dovuto al fatto che sotto sotto hai fatto una sostituzione ciclica: prima sostituisci un esponenziale con una variabile di primo grado e poi sostituisci la variabile di primo grado con qualcosa che ha a che fare con un logaritmo...in sostanza stai quasi tornando indietro a ciò che avevi in partenza, "annullando" la tua prima sostituzione
Il punto è questo: $dt=-tdz$, perciò poi bisogna ricavare $-t$ dalla sostituzione $1-\ln t=z$; questo porta a $\frac{1}{t}=e^{z-1}$, dunque si ha infine che $-t=-\frac{1}{e^{z-1}}$.
Perciò
$$dt=-\frac{dz}{e^{z-1}}$$
E dunque (sostituendo gli estremi di integrazione)
$$\int_0^{+\infty} x^3e^{x+1}dx=-\int_{+\infty}^0 \frac{z^3}{e^{z-1}}dz=\int_0^{+\infty} \frac{z^3}{e^{z-1}}dz$$
Che non è propriamente più semplice da integrare rispetto a quello di partenza.
Il fatto che l'ultimo integrale sia così simile al primo credo sia dovuto al fatto che sotto sotto hai fatto una sostituzione ciclica: prima sostituisci un esponenziale con una variabile di primo grado e poi sostituisci la variabile di primo grado con qualcosa che ha a che fare con un logaritmo...in sostanza stai quasi tornando indietro a ciò che avevi in partenza, "annullando" la tua prima sostituzione
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