Due integrali doppi
Ciao, amici!
Ho cercato di calcolare due integrali doppi per cui le soluzioni date dal libro sono "un po'" diverse da quelle date dal libro, per cui non sono sempre del tutto sicuro che l'errore sia mio piuttosto che un errore di stampa, anche se, salvo prova contraria, parto dal presupposto che l'errore sia mio...
Il primo è $int\int\_{D} xsin(x-y) dxdy$ per $D={(x,y):0<=x<=y,0<=y<=\pi/2}$.
Direi che qui D è l'area del triangolo risultante dall'intersezione tra le rette y=x, y=0 e $x=\pi/2$ e che
$int\int\_{D} xsin(x-y) dxdy = \int_{0}^{\pi/2}(\int_{0}^{x}xsin(x-y)dy)dx$
Dato che direi che $\int xsin(x-y)dy=xcos(x-y)+C$ mi sembra che $\int_{0}^{x}xsin(x-y)dy = xcos(x-x)-o = x$, quindi, calcolando che $\intx dx=1/2x^2+C$, mi pare che
$int\int\_{D} xsin(x-y) dxdy = \int_{0}^{\pi/2}xdx = 1/2(\pi/2)^2 = \pi^2/8$ mentre il mio testo dà $1-\pi^2/8$.
L'altro è $int\int\_D dxdy$ per $D={(x,y):9x^2+4y^2<=36}$, dove direi che D è l'area dell'ellisse $9x^2+4y^2=36$. Dato che la funzione integranda $f(x,y)=1$ è costante, mi sembrerebbe comodo integrare calcolando il volume di uno "spicchio" del cilindro ellittico il cui volume equivale all'integrale, per poi moltiplicarlo per 4, per esempio lo spicchio delimitato dai piani y=0 e x=0. Tenendo conto del fatto che l'arco di ellisse è rappresentato da $y=sqrt(9-9/4x^2)$ per $x>=0, y>=0$ e che $x=0 => y=3$ e $y=0 => x=2$, mi pare che
$int\int\_{D} dxdy=4\int_{0}^{2}(\int_{0}^{sqrt(9-9/4x^2)}dy)dx = 4\int_{0}^{2}3sqrt(1-1/4x^2)$
Dal momento che mi sembra che $\int 3sqrt(1-1/4x^2) = 3/4xsqrt(4-x^2)+3arcsin(x/2)+C$ direi che
$int\int\_{D} dxdy= 4\int_{0}^{2}3sqrt(1-1/4x^2)=4((3/4·2sqrt(4-2^2)+3arcsin(2/2))-0)=4(3/2\pi)=6\pi$ mentre il libro dà $(3\pi)/2$, che a me risulterebbe essere il volume di uno "spicchio" del cilindro ellittico...
Penso di aver sbagliato io, ma che cosa ne dite voi?
Ciao a tutti e grazie infinite!!!
Davide
Ho cercato di calcolare due integrali doppi per cui le soluzioni date dal libro sono "un po'" diverse da quelle date dal libro, per cui non sono sempre del tutto sicuro che l'errore sia mio piuttosto che un errore di stampa, anche se, salvo prova contraria, parto dal presupposto che l'errore sia mio...
Il primo è $int\int\_{D} xsin(x-y) dxdy$ per $D={(x,y):0<=x<=y,0<=y<=\pi/2}$.
Direi che qui D è l'area del triangolo risultante dall'intersezione tra le rette y=x, y=0 e $x=\pi/2$ e che
$int\int\_{D} xsin(x-y) dxdy = \int_{0}^{\pi/2}(\int_{0}^{x}xsin(x-y)dy)dx$
Dato che direi che $\int xsin(x-y)dy=xcos(x-y)+C$ mi sembra che $\int_{0}^{x}xsin(x-y)dy = xcos(x-x)-o = x$, quindi, calcolando che $\intx dx=1/2x^2+C$, mi pare che
$int\int\_{D} xsin(x-y) dxdy = \int_{0}^{\pi/2}xdx = 1/2(\pi/2)^2 = \pi^2/8$ mentre il mio testo dà $1-\pi^2/8$.
L'altro è $int\int\_D dxdy$ per $D={(x,y):9x^2+4y^2<=36}$, dove direi che D è l'area dell'ellisse $9x^2+4y^2=36$. Dato che la funzione integranda $f(x,y)=1$ è costante, mi sembrerebbe comodo integrare calcolando il volume di uno "spicchio" del cilindro ellittico il cui volume equivale all'integrale, per poi moltiplicarlo per 4, per esempio lo spicchio delimitato dai piani y=0 e x=0. Tenendo conto del fatto che l'arco di ellisse è rappresentato da $y=sqrt(9-9/4x^2)$ per $x>=0, y>=0$ e che $x=0 => y=3$ e $y=0 => x=2$, mi pare che
$int\int\_{D} dxdy=4\int_{0}^{2}(\int_{0}^{sqrt(9-9/4x^2)}dy)dx = 4\int_{0}^{2}3sqrt(1-1/4x^2)$
Dal momento che mi sembra che $\int 3sqrt(1-1/4x^2) = 3/4xsqrt(4-x^2)+3arcsin(x/2)+C$ direi che
$int\int\_{D} dxdy= 4\int_{0}^{2}3sqrt(1-1/4x^2)=4((3/4·2sqrt(4-2^2)+3arcsin(2/2))-0)=4(3/2\pi)=6\pi$ mentre il libro dà $(3\pi)/2$, che a me risulterebbe essere il volume di uno "spicchio" del cilindro ellittico...
Penso di aver sbagliato io, ma che cosa ne dite voi?
Ciao a tutti e grazie infinite!!!
Davide
Risposte
"DavideGenova":
$int\int\_{D} xsin(x-y) dxdy = \int_{0}^{\pi/2}(\int_{0}^{x}xsin(x-y)dy)dx$
Momento momento momento momento... E' la x che varia tra 0 e y, mentre la y varia quindi tra 0 e $\pi/2$
$int\int\_{D} xsin(x-y) dxdy = \int_{0}^{\pi/2}(\int_{0}^{y}xsin(x-y)dx)dy$
L'integrale interno lo farei per parti.. non dovrebbe essere troppo lungo.
Per il secondo... Un'integrale doppio del tipo $ int int_D dx dy $ coincide con l'area $D$ stessa.. Quindi Bastava calcolarsi l'area dell'ellisse descritto in $D$.
"pater46":
Momento momento momento momento... E' la x che varia tra 0 e y, mentre la y varia quindi tra 0 e $\pi/2$
$int\int\_{D} xsin(x-y) dxdy = \int_{0}^{\pi/2}(\int_{0}^{y}xsin(x-y)dx)dy$
Grazie di cuore, Pater46!!! Uh, sì, che rimbambito sono! Per fortuna aveva ragione il libro (il carattere rassicurante di un libro, soprattutto per un autodidatta come me, è inversamente proporzionale alla quantità degli inevitabili errori di stampa).
$\int xsin(x-y) dx = sin(x-y)-xcos(x-y)+C$, per cui
$\int_{0}^{\pi/2}(\int_{0}^{y}xsin(x-y)dx)dy = \int_{0}^{\pi/2}-y-sin(-y)dy=1-\pi^2/8$
Invece, nel caso del volume del cilindro ellittico, il libro dà probabilmente come risultato il volume di un quarto del cilindro ellittico, essendo l'area dell'ellisse D semplicemente $2·3\pi$...
Ciao e grazie di nuovo!!!!!
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